Многоканальная система с отказами.
Рассмотрим классическую задачу Эрланга (Эрланг А.К. — датский инженер, математик конца XIX в. — начала XX в.). Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): ,, где — состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов. Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний многоканальной СМО с отказами
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния (три канала заняты) в , будет иметь интенсивность , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
Для предельной вероятности состояния: (1)
где члены разложения , , …, будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для предельных вероятностей , , …, , …, . Величина: (2)
называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
(3)
, , …, …, . (4)
Формулы (3) и (4) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания. Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т.е.
. (5)
Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена: , (6)
Абсолютная пропускная способность: , (7)
Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:
,
где — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (3), (4).
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
(8)
или, учитывая (6.6.29), (6.6.24):
. (9)
Пример 1. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживания имеет интенсивность . Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживания — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности , т.е. .
Определить оптимальное число печатных машин в типографии, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 95 заявок.
Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (3) = 0,1/0,2 = 0,5, т.е. за время средней продолжительности производственного цикла = 5 ч поступает в среднем 0,5 заявок.
Будем постепенно увеличивать число каналов (печатных машин) = 2, 3, 4,... и определим по формулам (3), (6), (7) для получаемой -канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при = 2 = (l + 0,5 + 0,52/2!)-1 = 0,615;
= 1- (0,52/2!)×0,615 = 0,923; = 0,1×0,923 = 0,0923. Для n = 3 = (l + 0,5 + 0,53/3!)-1 = 0,657. = 1- (0,53/3!)×0,657 = 0,986; = 0,1×0,986 = 0,0986. Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.
Характеристика обслуживания
| Число каналов (печатных машин)
|
|
|
| Относительная пропускная способность Q
| 0,66
| 0,923
| 0,986
| Абсолютная пропускная способность А
| 0,066
| 0,0923
| 0,0986
| По условию оптимальности Q ³ 0,95, следовательно, в типографии необходимо установить 3 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,986 — см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 0,0986 заявок (А = 0,0986), а среднее число занятых печатных машин (каналов) по формуле (8) = 0,0986/0,2 = 0,493.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|