Многоканальная система с отказами.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга (Эрланг А.К. — датский инженер, математик конца XIX в. — начала XX в.). Имеется п каналов, на которые поступает поток заявок с ин­тенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): ,, где — состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов. Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и раз­множения и показан на рис. 1.

Рис. 1. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсив­ностью . Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состоя­ния (три канала заняты) в , будет иметь интенсивность , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

Для предельной вероятности состояния: (1)

где члены разложения , , …, будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для предельных веро­ятностей , , …, , …, . Величина: (2)

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интен­сивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

(3)

, , …, …, . (4)

Формулы (3) и (4) для предельных вероятностей полу­чили названия формул Эрланга в честь основателя теории массо­вого обслуживания. Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты, т.е.

. (5)

Относительная пропускная способность — вероятность того, что заявка будет обслужена: , (6)

Абсолютная пропускная способность: , (7)

Среднее число занятых каналов есть математическое ожи­дание числа занятых каналов:

,

где — предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (3), (4).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

(8)

или, учитывая (6.6.29), (6.6.24):

. (9)

Пример 1. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с ин­тенсивностью . Поток обслуживания имеет интенсивность . Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, пе­реводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживания — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обрат­но по величине интенсивности , т.е. .

Определить оптимальное число печатных машин в типографии, если условием оп­тимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 95 заявок.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (3) = 0,1/0,2 = 0,5, т.е. за время средней продолжительности производственного цикла = 5 ч поступает в среднем 0,5 заявок.

Будем постепенно увеличивать число каналов (печатных машин) = 2, 3, 4,... и определим по формулам (3), (6), (7) для получаемой -канальной СМО характеристики обслу­живания. Например, при = 2 = (l + 0,5 + 0,5²/2!)^-1 = 0,615;

= 1- (0,5²/2!)×0,615 = 0,923; = 0,1×0,923 = 0,0923. Для n = 3 = (l + 0,5 + 0,5³/3!)^-1 = 0,657. = 1- (0,5³/3!)×0,657 = 0,986; = 0,1×0,986 = 0,0986. Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.

По условию оптимальности Q ³ 0,95, следовательно, в типографии необходимо установить 3 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,986 — см. табл. 1). При этом в час будут об­служиваться в среднем 0,0986 заявок (А = 0,0986), а среднее число заня­тых печатных машин (каналов) по формуле (8) = 0,0986/0,2 = 0,493.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: