Необходимое и достаточное условия экстремума

Определение. Точка называется точкой максимума (минимума) непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки , для всех точек этой окрестности выполняется неравенство: (или ). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.

Обозначим приращение функции через , тогда можно переформулировать определение экстремума:

Точка называется точкой максимума непрерывной функции , если в некоторой окрестности точки приращение функции строго отрицательно, . Аналогично, - точка минимума, если .

Теорема. «Необходимое условие экстремума функции многих переменных». Если дифференцируемая функция достигает в точке экстремума, то все частные производные функции в этой точке обращаются в 0:

.

Так как полный дифференциал функции это сумма произведений частных производных на дифференциалы аргументов, то можно сказать, что необходимым условием экстремума функции многих переменных является равенство нулю полного дифференциала этой функции в точке экстремума:

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются стационарными. Следовательно, если - точка экстремума функции , то либо - стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема.

Теорема. «Достаточное условие экстремума функции многих переменных». Трижды дифференцируемая в стационарной точке функция :

1. Имеет в этой точке экстремум, если дифференциал второго порядка функции в точке знакопостоянен и обращается в 0 только при выполнении условия: . Причем, точка является точкой максимума, если и, - точкой минимума, если .

2. Если дифференциал второго порядка меняет знак в окрестности , то точка не является точкой экстремума.

3. Если дифференциал второго порядка не меняет знак в окрестности точки , но обращается в 0 при некоторых наборах значений , среди которых есть отличные от 0, то функция в точке может иметь экстремум, а может и не иметь его (в этом случае необходимо дополнительное исследование).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: