ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Вычисление двойного интеграла. Пусть область D определяется неравенствами:Пусть область D определяется неравенствами: и при этом, всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области D не более чем в двух точках (Рис. 3), тогда вычисление двойного интеграла от функции в области D сводится к вычислению, так называемого, повторного интеграла по формуле: (1). В формуле (1) сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y,считая при этом х величиной постоянной . Затем вычисляется внешний интеграл по переменной х.
Рис. 3 Рис.4 Если область интегрирования есть и при этом, всякая прямая, параллельная оси Ox пересекает границу области D не более чем в двух точках (Рис. 4), тогда двойной интеграл вычисляется через повторный интеграл по формуле: (2). Замечание 1.
Замечание 2. Пределы интегрирования внешнего интеграла в повторном интеграле всегда постоянны. Пределы интегрирования внутреннего интеграла, в общем случае, будут функциями той переменной, по которой вычисляется внешний интеграл.
Пример. Вычислить двойной интеграл , где Решение. Область интегрирования D ограничена прямой и параболой , проходящей через начало координат, с осью симметрии Oy (Рис. 6).
Имеем две точки пересечения: . Любая прямая, проходящая через внутренние точки отрезка параллельно оси Оy пересекает границу области D в двух точках: в точке входа , в которой и в точке выхода , в которой . Таким образом, область интегрирования D можно задать неравенствами: . Тогда по формуле (1) получаем: . Сначала вычисляем внутренний интеграл по y, считая х постоянной величиной . Далее вычисляем внешний интеграл Ответ: Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|