СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА

Основные понятия, законы и формулы

3.1. Вероятность. Средние значения.

Статистическая физика – это раздел физики, в котором изучают свойства макросистем, исходя из индивидуальных свойств составляющих макросистему частиц и взаимодействий между ними. Описание движения каждой частицы макросистемы (системы, образованной огромным количеством молекул) – задача совершенно немыслимая. Вместо этого статистическая физика оперирует со средними значениями параметров очень большого числа частиц.

Основу статистической физики составляет теория вероятностей. Вероятность интересующего нас события характеризуется кратностью его повторения. Если в случаях -ое событие происходит раз, то вероятностью этого события называют величину

.

Для вычисления вероятности необходимо,чтобы и были достаточно большими.

Сумма вероятностей всех возможных результатов равна единице:

.

Зная вероятности появления различных результатов измерения дискретной величины , можно найти их среднее значение . По определению среднего

.

3.2. Распределение Максвелла – закон распределения по скоростям молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии.

· Вероятность или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в интервале :

.

· Плотность вероятности или относительное число молекул, модуль скорости которых заключен в единичном интервале скоростей, выбранном около конкретной скорости :

.

· Плотность вероятности есть функция скорости, которая и представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости:

.

· Вид функции показан на рис.1. Площадь под кривой функции в заданном интервале скоростей равна вероятности этих скоростей

.

Функция Максвелла нормирована на единицу:

,

т.е. полная площадь под кривой равна единице.

Замечания.

1. Следует отметить, что полученное Максвеллом распределение по скоростям не зависит ни от структуры молекул, ни от того, как они взаимодействуют друг с другом. Поэтому оно применимо не только к газам, но и к другим агрегатным состояниям вещества.

2. При подсчете вероятности в заданном интервале скоростей не всегда следует прибегать к интегрированию. Если интервал очень мал (по сравнению с самой скоростью), то решение сводится просто к умножению:

.

3.3. Характерные скорости газовых молекул:

· наиболее вероятная скорость – скорость, которой соответствует максимум функции распределения :

;

· средняя арифметическая скорость:

;

· средняя квадратичная скорость:

.

3.4. Формула Максвелла в приведенном виде.

Решение ряда задач удобнее проводить, если выражать скорости в относительных единицах – единицах наиболее вероятной скорости . Тогда относительная скорость молекулы .

При переходе к новой переменной распределение Максвелла примет вид:

.

3.5. Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по кинетическим энергиям поступательного движения:

,

где функция определяет относительное число молекул из общего числа молекул, которые имеют кинетические энергии, заключенные в интервале от до .

3.6. Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле:

или ,

где и – концентрации молекул на высоте и ; – потенциальная энергия молекулы во внешнем силовом поле (в поле силы тяжести ).

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

Основные понятия, законы и формулы

4.1. Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой в единицу времени:

,

где – эффективный диаметр молекулы; – концентрация молекул; – средняя арифметическая скорость молекул.

4.2. Средняя длина свободного пробега молекулы газа (путь, который в среднем проходят молекулы между двумя последовательными столкновениями):

.

4.3. Диффузия. Закон Фика.

Явление диффузии в простейшем одномерном случае в химически однородном газе возникает, когда плотность (либо концентрация) зависит только от одной координаты , при этом перенос вещества осуществляется только вдоль оси и подчиняется закону Фика:

,

где – масса вещества, диффундирующего за время через площадку , расположенную перпендикулярно направлению переноса вещества; – градиент плотности вдоль оси ; – коэффициент диффузии.

Плотность потока массы – масса, переносимая в единицу времени через единицу площади в направлении нормали к этой площадке в сторону убывания плотности: .

4.4. Явление теплопроводности. Закон Фурье.

Явление теплопроводности в простейшем одномерном случае возникает в веществе, температура которого зависит только от одной координаты , при этом перенос внутренней энергии путем теплообмена осуществляется только вдоль оси и описывается законом Фурье:

,

где – количество теплоты, которое передается вследствие теплопроводности за время через площадку , расположенную перпендикулярно направлению переноса внутренней энергии; – коэффициент теплопроводности (теплопроводность); – градиент температуры вдоль оси .

Плотность теплового потока – количество теплоты, переносимое в единицу времени через единицу площади в направлении нормали к площадке:

.

4.5. Явление внутреннего трения (вязкости). Закон Ньютона.

Явление вязкости возникает в тех случаях, когда на хаотическое тепловое движение молекул накладывается упорядоченное движение. В этом явлении через площадку происходит перенос импульса в направлении, перпендикулярном соприкасающимся слоям:

.

Внутреннее трение (вязкость) связано с возникновением сил трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с разными по модулю скоростями . Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкасающих слоев. Для явления внутреннего трения справедлив закон Ньютона:

,

где – касательная силы трения, действующая на поверхность слоя площадью ; – градиент скорости течения газа (жидкости) в направлении внешней нормали к поверхности слоя (рис. 2); – коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость).

Плотность потока импульса:

.

Этот перенос импульса проявляется в том, что вдоль площади действует вязкое касательное напряжение

.

4.6. Коэффициенты , , для газов в уравнениях, описывающих явления переноса:

· диффузии ;

· вязкости ;

· теплопроводности ,

где – плотность газа; – средняя арифметическая скорость теплового движения молекул; – средняя длина свободного пробега молекул; – удельная теплоемкость при постоянном объеме.

4.7. Закон Стокса – сила сопротивления при малых скоростях движения шарика в вязкой среде:

,

где – радиус шарика; – его скорость; – коэффициент вязкости среды.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: