Определенный интеграл, его вычисление и свойства

Определенный интеграл от функции , непрерывной на отрезке , вычисляется по формуле:

(5)

где — первообразная для функции , т. е.

Формула (5) называется формулой Ньютона — Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

6) Если для всех , то

7) Если для всех , то

При вычислении определенного интеграла для нахождения первообразной используют те же методы, что и для нахождения неопределенного интеграла, т. е. замену переменной, интегрирование по частям и т. д. Однако есть ряд особенностей. При замене переменной по формуле (1) необходимо в соответствии с заменой менять пределы интегрирования:

(6)

где — обратная к функция.

Формула интегрирования по частям (3) приобретает вид:

(7)

Определенный интеграл широко используется в различных приложениях, например, при вычислении площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых, объемов тел вращения, площадей поверхностей вращения, работы переменной силы на отрезке, пути, пройденного за промежуток времемени, статических моментов и моментов инерции плоских дуг и фигур и т. д.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: