Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

Задача Коши для ДУ 1-го порядка состоит в следующем: из общего решения требуется выделить такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию: где — заданная точка плоскости XOY. Условия существования и единственности решения задачи Коши сформулированы в следующей теореме.

Теорема. Если функция определена и непрерывна в некоторой области D на плоскости XOY, а частная производная ограничена в этой области, то каковы бы ни были числа такие, что точка найдется единственная функция являющаяся решением уравнения (1), непрерывно дифференцируемая на некотором промежутке, содержащем точку x ₀, и такая, что

Пример 5.2. Определить тип ДУ и решить задачу Коши

Решение. Для определения типа ДУ выразим из уравнения y :

Внесем х под знак корня, возведя его в квадрат:

и в подкоренном выражении поделим почленно числитель на знаменатель, получим

(10)

Итак, привели уравнение к виду По таблице ДУ (см. прил. 2) определяем, что уравнение однородное и решается заменой Сделаем замену в уравнении (10): учтем, что

Используя формулы 12 и 4 таблицы интегралов, получаем:

Произвольную постоянную интегрирования выразили в виде что позволило записать общее решение, используя свойства логарифмов,
в виде:

Учитывая выполненную замену получим — общее решение ДУ в неявном виде.

Найдем такое решение, которое удовлетворяет начальному условию у (3) = 4. Для этого подставим в общее решение и найдем значение постоянной С:

Итак, нашли значение постоянной С, при котором решение ДУ будет удовлетворять указанному начальному условию.

Решение задачи Коши запишем, подставив в общее решение значение постоянной С:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: