Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

(15)

где р ₁ и р ₂ — действительные числа.

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного ДУ достаточно найти два линейно независимых частных решения и уравнения (15), чтобы записать общее решение:

Будем искать решение уравнения (15) в виде где некоторое постоянное. Чтобы определить подставим в уравнение (15).
В результате подстановки получим уравнение

Так как то

(16)

Квадратное уравнение (16) называют характеристическим уравнением для ДУ (15), а его корни и характеристическими числами. При решении характеристического уравнения (16) могут возникнуть три случая:

а) Корни и действительные и различные. Тогда общее решение уравнения (15) будет иметь вид:

(17)

б) Корни и действительные и равные, Общее решение уравнения (15) будет иметь вид:

(18)

в) Корни и комплексно сопряженные, Тогда общее решение уравнения (15) примет вид:

(19)

Пример 6.1. Найти общие решения линейных однородных ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

а) б)

в) г)

Решение.

а) Составим характеристическое уравнение:

Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

(20)

Получим корни:

Поскольку и то общее решение запишем в виде (17):

б)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формулам (20):

Поскольку то общее решение запишем в виде (18):

в)

Характеристическое уравнение:

его корни найдем по формуле (20):

Получили комплексно сопряженные корни вида где а = 1, b = 4.

Решение запишем в виде (19):

г)

Характеристическое уравнение:

Решим его:

— комплексно сопряженные корни вида где а = 0, b = 1,3. Решение запишем в виде (19), при этом учтем, что

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: