ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

После получения результатов эксперимента для дальнейшего их анализа проводится упорядочение данных, их графическое представление и расчет основных числовых характеристик.

Наблюдаемые значения исследуемого признака Х называют вариантами и обозначают , числа их наблюдений называют частотами и обозначают Общее число наблюдений называют объёмом выборки и обозначают n,

Статистическим распределением выборки называют множество вариант и соответствующих им частот. Обычно статистическое распределение выборки представляют в виде таблицы:

			…
			…

Эмпирической функцией распределения называется числовая функция , определяющая относительную частоту события Она вычисляется по формуле:

(1)

где — сумма частот вариант, значения которых меньше х, n — объём выборки.

является неубывающей функцией, значения которой принадлежат отрезку . служит оценкой теоретической функции распределения , определяющей вероятность события

Основными графическими формами представления данных наблюдений являются полигон частот и гистограмма.

Полигоном частот называется ломаная линия, звенья которой соединяют точки с координатами , , …, .

Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы одинаковой длины h, а высотами — плотности интервальных частот .

Основными характеристиками выборки являются:

1) Выборочная средняя , вычисляется по формуле:

. (2)

2) Выборочная дисперсия , вычисляется по формуле:

. (3)

3) Исправленная дисперсия , вычисляется по формуле:

(4)

Более детально про эмпирическую функцию распределения читайте здесь: https://mylektsii.su/1-75538.html.

Пример 9. Выборка и её числовые характеристики.

Дан закон распределения частот для дискретной СВ в виде следующей таблицы

Требуется найти: 1) эмпирическую функцию распределения; 2) полигон частот;

3) выборочную среднюю; 4) выборочную дисперсию; 5) исправленную дисперсию.

Решение. 1)Объем выборки равен сумме частот закона .

Эмпирическая функция распределения по формуле (1);

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

Рис.1 Эмпирическая функция распределения .

Рис. 2. Полигон частот опыта.

3. Найдем теперь выборочную среднюю по формуле (2);

.

В данном случае число групп данных , поэтому выборочное среднее равно

.

4. Найдем выборочную дисперсию по формуле (3):

.

Для упрощения вида числовых выкладок приближенно считаем, что , поэтому

.

Найдем исправленную дисперсию по формуле (4):

.

Выводим для , что она равна

Пример 10. Линейная корреляция.

Дано корреляционное поле в виде таблицы

Вычислить коэффициент корреляции. Найти выборочное уравнение прямой регрессии , построить корреляционное поле и нанести на него линию прямой регрессии . Решение. Определим выборочные средние значения для каждой СВ

, .

Найдем теперь значения исправленных выборочных дисперсий для каждой СВ

,

.

Исправленная эмпирическая ковариация и коэффициент корреляции равны величинам

.

2. Эмпирический коэффициент регрессии находится по формуле

.

Уравнение прямой регрессии записывается в следующем виде

.

р

Рис.2. Корреляционное поле и линия регрессии

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: