Уравнения с разделяющимися переменными. и решаются следующим образом: так как то уравнение (2) можно записать в виде Разделим переменные в полученном равенстве

Такие ДУ имеют вид:

(2)

и решаются следующим образом: так как то уравнение (2) можно записать в виде Разделим переменные в полученном равенстве, т. е. при дифференциале dy соберем множителями функции, зависящие от y, а при дифференциале dх — функции, зависящие от х. Для этого умножим обе части уравнения (2) на множитель считая Символически это записывается так:

Получим Интегрируя последнее равенство, получим общий интеграл

В случае, если уравнение имеет решение y = b, которое
не получается из общего решения ни при каком значении постоянной С, то y = b является особым решением уравнения (2).

Пример 5.1. Найти общее решение ДУ

Решение. ДУ приведем к виду (2), разделив обе части равенства на

Согласно описанному выше алгоритму, заменив на получим и умножим обе части равенства на

(3)

Проинтегрируем полученное равенство:

Для удобства таблица основных интегралов приведена в приложении 1.

Вернемся к равенству (3), оставив константу С только в правой части в виде

Используя свойства логарифмов, получим: — общее решение исходного ДУ.

Проверим, имеет ли уравнение особые решения. Уравнение делили на y + 1, поэтому могли потерять решение y = – 1. Подстановка в уравнение показывает, что y = – 1 — решение, однако оно содержится в общем решении при С ₁ = 0. Таким образом, особых решений нет.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: