Функция двух и трех переменных. Способы их задания. Область определения, предел и непрерывность. Линии и поверхности уровня.

Если каждой паре (x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторого множества D соответствует единственное значение величины, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная на множестве D. Обозначается: z = f(x;y) или z = z(x;y).

Например, S = ab, S = S(a;b) - функция двух переменных; V = abc, V = V(a,b.c) – функция трех переменных.

Чтобы задать функцию двух (трех) переменных, нужно указать способ, с помощью которого для каждой пары (тройки) значений аргументов можно найти соответствующее значение функции. Наиболее часто функция задается аналитически: явно – z = f(x;y) или неявно F(x;y;z) = 0. Непрерывное множество пар (x;y) значений независимых переменных x и y, при которых функция z = z(x;y) определена, называется областью определения функции. Область определения называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу; открытой областью, если она не включает в себя свою границу; ограниченной областью, если может быть помещена в круг конечного радиуса.

Геометрически изобразить область определения функции можно только для функций: одной переменной – на прямой Ox, двух переменных – на плоскости xOy, трех переменных– в пространстве xOyz.

Число А называется пределом функции z = f(x;y) в точке (x₀;y₀), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε найдется положительное число δ такое, что для всех точек (x;y), отстоящих от точки (x₀;y₀) на расстояние, меньшее чем δ, выполняется неравенство |f(x,y) - A| < ε

.

Функция z = f(x;y) называется непрерывной в точке (x₀;y₀), если предел функции в этой точке существует и

.

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва. На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости XOY, принадлежащая D(z), в каждой точке которой функция принимает одно и то же значение.

Уравнение линии уровня: f(x, y)=c, где с - произвольное число. На данной линии уровня значение функции z=c. Линий уровня бесконечно много, и через каждую точку области определения можно провести линию уровня.

Поверхность уровня функции w = f(x,y,z) определяется уравнением f(x,y,z) = C.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: