Полный дифференциал функций 2 и 3 переменных, его связь с полным приращением. Применение дифференциала для вычисления погрешностей.

Формула полного приращения функции:

Δz = f_x`(x, y)Δx + f<sub>y</sub>`(x, y)Δy + ερ

Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно Δx и Δy - главная часть приращения, отличаясь от Δz на бесконечно малую высшего порядка относительно Δρ. Линейная часть приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается dz.

dz = f_x`(x, y)Δx + f<sub>y</sub>`(x, y)Δy

Приращения независимых переменных Δx и Δy равны дифференциалам независимых переменных, т.е. dx = Δx и dy = Δy, а значит Δz = dz + ερ и, с точностью до бесконечно малой высшего порядка относительно Δρ, Δz ~ dz, причем точность этого равенства тем выше, чем меньше приращение аргументов.

Отношение погрешности Δz к приближенному значению z называется относительной погрешностью этой величины и обозначается δz.

Δz = Δz/z

Максимальной относительной погрешностью величины z называется отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине z и обозначается | δ^*z |.

| δ^*z | = | Δz | / |z|

Пример. Измерения катетов прямоугольного треугольника дали х=10 см. и у=6 см., причем максимальные абсолютные погрешности при измерении равны 0,1 см. Определить максимальную относительную погрешность при вычислении площади треугольника.

Решение. Площадь треугольника S равна половине произведения катетов, т.е. S=0,5xy. По формуле находим:

| Δz | = 0,5xy_x + 0,5yx_y = 0,3 + 0,5 = 0,8

| δ^*z | = 0,8/30 = 2,7%

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: