ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЛЕКЦИЯ 1

Пусть дано множество евклидова пространства Функцией переменных называют правило, согласно которому каждой точке ставят в соответствие одно действительное число При этом используют обозначения: Переменные называют независимыми переменными или аргументами, а − зависимой переменной или функцией. Говорят, что всякая числовая функция задает скалярное поле.

Множество называют областью определения (существования, задания) функции, а множество значений функции, принимаемых в области определения, − областью значений или областью изменения и обозначают Если множество не указано, то в качестве области определения берут множество всех допустимых значений аргументов, при которых функция определена.

В пространствах и наряду с записями используют и такие обозначения: для функции двух переменных и для функции трех переменных.

При задании функций применяют и другие буквы. Так, например, известная из школьного курса математики формула для объема кругового цилиндра определяет функцию двух переменных являющихся радиусом основания и высотой цилиндра соответственно. Исходя из геометрического смысла переменных областью определения функции является 1-я четверть координатной плоскости

Как и в случае функции одной переменной, функция нескольких переменных называется элементарной, если она задается формулой, содержащей конечное число арифметических операций и композиций (операций взятия функции от функции) основных элементарных функций переменных . Примерами элементарных функций нескольких переменных, определенных в пространстве , являются:

− линейная функция или где коэффициенты − действительные числа;

− квадратичная функция (квадратичная форма) где коэффициенты − действительные числа.

Функция двух переменных называется однородной функцией степени k, если выполнено условие: . Примерами однородных функций являются функции: , а примерами неоднородных функций:

В теории производства широко используется производственная функция Кобба-Дугласа при .Она описывает зависимость объема производства от создающих его труда (трудовых ресурсов) и капитала (производственных фондов) . Параметр называют коэффициентом эластичности выпуска по фондам, параметр − коэффициентом эластичности по труду, − некоторый положительный коэффициент. Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США.

Производственная функция Кобба-Дугласа является однородной функцией степени Действительно, , отсюда

На функции нескольких переменных по аналогии с функциями одной переменной распространяются понятия сложной функции, явной и неявной функций.

Графиком функции двух переменных называют совокупность точек пространства с координатами где График функции двух переменных − это некоторая поверхность в пространстве Графиком функции называют совокупность всех точек , где График расположен в пространстве

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: