Условия дифференцируемости функции в точке

Теорема 4 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Заметим, что разрывная в точке функция заведомо не дифференцируема в этой точке.

Теорема 5 (необходимое условие дифференцируемости в точке). Если функция дифференцируема в точке , то в точке существуют конечные частные производные и

Теорема 6 (достаточное условие дифференцируемости в точке). Е сли в окрестности точки существуют частные производные функции и они непрерывны в точке то функция дифференцируема в точке , при этом дифференциал

(9)

где

Все введенные выше термины и утверждения применимы к функциям переменных При этом полный дифференциал имеет вид:

(10)

где − заданная точка в .

Дифференциал можно записать с использованием знака суммирования следующим образом:

Полный дифференциал называют дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом. Он является функцией независимых переменных: .

В формуле (10) все слагаемые устроены по единому образцу, как звенья в цепи: ое слагаемое (звено) равно а знаки сложения объединяют эти «звенья» в «цепочку»:

Пример 2. Найти дифференциал функции Кобба-Дугласа в точке

□ Используя (9), имеем где В точке частные производные равны соответственно. Тогда ■

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: