Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Определения частных производных и градиента




Рассмотрим функцию двух переменных определенную в некоторой окрестности точки Дадим аргументу такое частное приращение , сохраняя при этом неизменной координату , что точка принадлежит окрестности точки Разность называют соответствующим частным приращением функции по переменной

Частной производной функции в точке по переменной называют предел отношения частного приращения функции к частному приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

(2)

Другие обозначения частной производной по переменной :

Из определения частной производной по следует, что для ее вычисления нужно выполнить дифференцирование по переменной по обычным правилам дифференцирования функций одной переменной, полагая фиксированной величиной (константой).

Аналогичным образом вводится понятие частной производной функции по переменной

Если частные производные функции существуют в каждой точке множества , то они являются функциями переменных . В этом случае имя и координаты произвольной точки можно не указывать. Обозначения и сохраняют для значений частных производных в конкретной точке

Функция двух переменных в произвольной точке имеет две частных производных: или и . Вектор, координаты которого равны частным производным, взятым в указанном порядке, называют градиентом функции:

........... (3)

Для градиента используют и другое обозначение , где − символ Гамильтона (читается «набла»).

Введенные понятия естественным образом обобщаются на функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных определена в некоторой окрестности точки . Разность , где (по сравнению с изменена лишь -я координата), называют частным приращением функции по переменной , соответствующим частному приращению аргумента . Частной производной функции в точке по переменной называют предел отношения частного приращения функции к частному приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:

. (4)

Другие обозначения частной производной по переменной в точке :

Вектор, координаты которого равны частным производным функции по переменным , называют градиентом функции:

........... . (5)

Для функций переменных , как и для функций одной переменной, непрерывность функции не является достаточным условием существования конечной частной производной в этой точке. Более того непрерывность функции в точке не является и необходимым условием существования конечной частной производной в этой точке: если функция имеет конечную частную производную по переменной в некоторой точке, то она может быть разрывной в этой точке.

Так, например, функция в точке имеет частную производную . Действительно, на оси абсцисс при функция тождественно равна нулю: , откуда следует, что . Рассмотренная функция имеет конечную частную производную в точке , но тем не менее она разрывна в этой точке.

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных