Однофакторный дисперсионный анализ при случайном формировании выборок равной численности

Условие: Имеются данные сортоиспытания трех сортов льна-долгунца (таблица 3.1). Делянки формировались в случайном порядке.

Проверить статистическую гипотезу о равенстве средних уровней урожайности по сортам при уровне значимости 0,05.

Таблица - 3.1. Урожайность льна -долгунца разных сортов

(по данным сортоиспытания)

Сорт	Повторности (делянки)	Итого	Средняя урожайность по сорту
Оршанский 72	10,2	10,0	9,8	8,7	8,9	47,6	9,52
Псковский	7,0	6,9	6,4	6,5	6,9	33,7	6,74
Белинка	15,0	13,0	14,6	15,0	14,7	72,3	14,46
Итого	32,2	29,9	30,8	30,2	30,5	153,6	10,24

Решение:

1.Выдвинем нулевую и альтернативную гипотезы

H ₀ : , (средние урожайности по сортам в генеральной совокупности равны);

H_а : (средние урожайности по сортам в генеральной совокупности не равны).

2. Определим модель дисперсионного анализа в соответствии с источниками вариации урожайности и условиями формирования выборок.

В задаче два источника вариации урожайности, так как делянки формировались в случайном порядке:

1) сорт (признак, по которому проведена группировка делянок)

3) остальные (случайные) факторы:индивидуальные особенности растений, небольшие различия в освещенности и увлажненности участков и т.п.

Таким образом, имеем однофакторную модель со случайным распределением равночисленных единиц в группах.

Общий объем вариации раскладывается на объем вариации фактора (сортов) и остаточный объем вариации

W общ = W фактора + W остаточная

3. Введем условные обозначения: _ĭ - номер строки, _ĵ – номер столбца, ij – номер единицы совокупности _ĭ строки и _ĵ столбца. N – общая численность совокупности, n – число повторностей, m –число вариантов опыта, Х – индивидуальные значения признака (урожайности), - сумма ĭ-значений признака по ĵ- столбцу, - сумма ĵ- значений признака по ĭ- строке, -сумма значений признака во всей совокупности. При этом верно равенство =

4. Рассчитаем показатели таблицы 3.2. Для этого все значения из табл. 3.1 (), а также суммы значений по строкам () возведем в квадрат.

Проверка правильности расчетов: сумма квадратов значений признака по строкам должна быть равна сумме квадратов значений по столбцам.(Σх_ĭ ² = Σх_ĵ ²). Эта сумма будет составлять сумму квадратов всех значений признака в совокупности Σх_ĭ ² = Σх_ĵ ² = Σх_ij ²

Таблица - 3.2. Квадраты значений признаков и их сумм

Сорт	Повторности	Сумма квадратов	Квадрат суммы
I	104,04		96,04	75,69	79,21	454,98	2265,76
II		47,61	40,96	42,25	47,61	227,43	1135,69
III			213,16		216,09	1048,25	5227,29
Сумма квадратов	378,04	316,61	350,16	342,94	342,91	Σ x2 ij =   1730,66	= 8628,74

5.Расчет объемов вариации по источникам варьирования проведем по рабочим формулам, рассмотренным в задаче 1.10.

Общий объем вариации урожайности льна-долгунца равен

1730,66- 1730,66 – 1572,864= 157,796

Объем вариации по вариантам опыта определим по формуле

=

Объем вариации, обусловленный остальными (случайными) факторами равен согласно правилу разложения объемов вариации разности общего объема вариации и вариации фактора и вариации повторностей

W_ост. = W_общ. - W_{фактора} 157,796 – 152,884 = 4,912

6. Рассчитаем число степеней свободы для каждого источника варьирования.

В нашей задаче общее число наблюдений N=15, равное произведению числа групп m = 3 и числа повторностей n = 5.

Для общего объема вариации число степеней равно

V _o= N-1 = 15-1 = 14

Число степеней свободы для факторной дисперсии:

V _{фактора} = m-1 = 3-1 = 2

Число степеней свободы для остаточной дисперсии:

V _ост. = V _o - V _{фактора =}14 – 2 = 12

7. Рассчитаем необходимые для дальнейшего анализа дисперсии признака

- Дисперсия по фактору S _факт ² = =

- Дисперсия остаточная S² _ост = =

Примечание: Общую дисперсию не вычисляем, так как она не участвует в дальнейшем анализе.

8. Определим фактическое значение F- критерия по фактору

F_факт = =

9. Определим теоретические значения критерия F –распределения при заданном уровне значимости 0,05(приложение 4).

Для этого в приложении 4 находим по горизонтали в первой строке число степеней свободы для большего среднего квадрата (факторной дисперсии), V₁= 2, и опускаем перпендикуляр до строки, указывающей число степеней свободы для меньшего среднего квадрата (остаточной дисперсии) –V₂= 12. На пересечении находим значение 3,88.

10. Результаты решения запишем в таблицу 3.3.

Таблица - 3.3. Расчет и анализ дисперсий

11. Сделаем вывод, с опоставив фактическое и табличное значение критерия F. Фактическое значение критерия превышает табличное. Так как фактическое значение попадает в критическую область критерия, нулевая гипотеза о равенстве выборочных средних величин в генеральных совокупностях должна быть отвергнута. Принимаем альтернативную гипотезу.

12. Практически значимый вывод: с вероятностью 0,95 изучаемые сорта существенно различаются по урожайности культуры.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: