Задача 3.4 Двухфакторный дисперсионный анализ при неслучайном формировании равночисленных выборок

Условия: Имеются данные полевого опыта, в котором изучалось влияние предшественников и способов обработки почвы на урожайность озимой пшеницы. (табл.3.11). Известно, что при выборе земельных участков для повторностей опыта учитывалось плодородие почв.

Статистически оценить результаты опыта при уровне значимости 0,05.

Решение:

1.Выдвинем нулевую и альтернативную гипотезы

H ₀ : … , (средние урожайности по вариантам опыта в генеральной совокупности равны);

H_а : … (средние по вариантам опыта не равны)

Таблица - 3.11. Урожайность озимой пшеницы в зависимости от предшественника и способа обработки почвы, ц с 1 га

Предшествен- ник (фактор А)	Способ Обработки (фактор В)	Земельные участки (повторности)	Итого	Средняя по вари- анту опыта
Многолетние травы	1.Дискование и вспашка	40,1	41,0	36,6	39,4	157,1	39,3
2.Плоскорезная обработка	40,3	42,1	35,4	41,3	159,1	39,8
Яровой Ячмень	1.Дискование и вспашка	28,1	27,5	26,6	29,3	111,5	27,9
2.Плоскорезная обработка	26,6	28,1	25,3	28,4	108,4	27,1
Сахарная свекла	1.Дискование и вспашка	25,3	22,1	21,3	25,1	91,8	23,0
2.Плоскорезная обработка	22,4	20,5	24,3	23,1	90,3	22,6
Итого по повторности		182,8	181,3	169,5	186,6	720=	х
Средняя		30,5	30,2	28,3	31,3	х	30,0 =

2. Определим модель дисперсионного анализа в соответствии с источниками вариации урожайности и условиями формирования выборок. При наличии двух группировочных признаков (предшественник-фактор А и способ обработки почв- фактор В), подбора делянок с учетом плодородия почв имеем модель двухфакторного дисперсионного анализа с неслучайным формированием групп равной численности.

При этом типе модели общий объем вариации может быть представлен как сумма W _общ = W _{фактора А} + W _{фактора В} + W _{взаимодействия. АВ} + W _{повторн.}+ W _{остаточн.},

3. Введем условные обозначения и рассчитаем необходимые показатели таб.4.12. По первому признаку (предшественнику) выделено 3 группы (m = 3), по второму признаку (способу обработки) выделено 2 группы (k = 2). В каждой подгруппе выборка представлена 4 наблюдениями (n = 4). Общая численность совокупности равна N= m* k * n = 3 * 2 * 4 = 24. суммы урожайностей по каждому варианту опыта (строке); - суммы урожайностей по каждому варианту опыта (строке);

Таблица-3.12. Квадраты значений признаков и их сумм

Предшественник (А)	Способ обработ ки (В)	Повторности	Сумма квадратов	Квадрат сумм
Многолет- ние травы		1608,01	1681,00	1339,56	1552,36	6180,93	24680,41
	1624,09	1772,41	1253,16	1705,69	6355,35	25312,81
Яровой ячмень		789,61	756,25	707,56	858,49	3111,91	12432,25
	707,56	789,61	640,09	806,56	2943,82	11750,56
Сахарная свекла		640,09	488,41	453,69	630,01	2212,20	8798,44
	501,76	420,25	590,49	533,61	2046,11	8154,09
Сумма квад ратов,	x	5871,12	5907,93	4984,55	6086,72	22850,32	91128,56
Квадрат сумм	x	33415,84	32869,69	28730,25	34819,56	129835,34

4. Рассчитаем объемы вариации урожайности пшеницы в соответствии с источниками вариации. Расчет объемов вариации проводим в два этапа.

На первом этапе обеспечим разложение W_о =W факт+W повт.+W ост.,

на втором этапе - W факт =W предш..+W способов.обр.+W взаим. факторов.

Первый этап реализуется по типу однофакторной модели

(см. задачу 3.1.2.).

Используя для расчетов данные таблицы 4.12, определим:

=22850,32 - = 22850,32 – 21612=1238,32

W факторов=

Wповторностей= =

W остаточная= =1238,3180-1170,1380-27,2217= 40,9583

5.Определим для каждого объема вариации число степеней свободы:

_o = N -1 = 24-1=23;

_ф = m*k –1= 3*2 –1 =5;

_повт. = n -1= 4-1= 3;

_ост. = _{o - ф - повт} = 23-5-3 = 15.

6.Определим дисперсии для первого этапа анализа:

= = 234,0277; 2,7306.

7.Фактическое значение критерия F- распределения по факторам в целом

8. Табличное значение F_табл при р=0.05 и числе степеней свободы ₁=5, ₂=15 составит 2,90. Фактическое значение критерия больше табличного, следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что различия между средними величинами по вариантам опыта достоверны и целесообразна дальнейшая работа по оценке достоверности влияния каждого фактора и их взаимодействия.

9. Проведем второй этап разложения объемов вариаций:

W факт = W _{предшеств.} + W _{спос. Обр} + W _взаим.

Для расчетов объемов вариации необходимо составить новую таблицу 3.13, в которой заголовки строк содержат градации по первому фактору, а столбцов - по второму. В таблицу запишем суммы урожайности по повторностям из табл.3.11 (предпоследняя графа).

3.13. Таблица сумм урожайности по вариантам опыта

Предшественник	Способ обработки почвы	Сумма А
Дискование и вспашка	Плоскорезная обработка
Многолетние травы	157,1	159,1	316,2
Яровой ячмень	111,5	108,4	219,9
Сахарная свекла	93,8	90,3	184,1
Сумма В	362,4	357,8	720,2=

10. Дальнейшие расчеты проводим по аналогии с расчетами первого этапа работы, представляя вместо W_o объем вариации по факторам в целом W_факт,, вместо W _факт объем вариации по первому фактору W_А, вместо W_повт. объем вариации по второму фактору W_В, вместо W_ост. объем вариации взаимодействия факторов W_АВ :

=1166,9080

=0,8833

W_АВ = W_факт-W _факт.А-W _факт.В=1170,138-1166,908-0,8833=2,3472

11.Определим для вычисленных в пункте10 объемов вариаций соответствующее число степеней свободы

_А = m -1=3-1=2; _В = k- 1=2-1=1; _АВ =(mk - 1) – (m -1)-(k -1) =5-2-1=2.

12.Объединим результаты вычислений, проведенные на первом и втором этапах, в таблицу (табл.3.14) и рассчитаем необходимые показатели.

Таблица - 3.14. Анализ дисперсий

Источник вариации	Объем ва- риации, Wi	Число степе- ней свободы, i	Дисперсия S2i	Отношение дисперсий
Fфактич.	Fтаблич.
Факторы в целом	1170,1380		234,03	85,73	2,90
в том числе -предшественник	1166,9080		583,45	213,68	3,68
-способ обработки	0,8833		0,88	3,09	4,54
взаимодействие - факторов	2,3472		1,17	2,33	3,68
Повторности	27,2217		9,07	3,32	3,29
Остаточная вариация	40,9583		2,73		x
Общая вариация	1238,3180		x	x	x

13. Сопоставление F_факт. и F_табл. показывают, что существенны различия в средней урожайности озимой пшеницы только по первому фактору. Выдвинутая нулевая гипотеза подтверждается по другим источникам вариации: второму фактору и взаимодействию факторов; следовательно, по данным опыта не доказано влияние способа обработки почвы и взаимодействия факторов. Вероятность ошибки суждения сравнительно низка - 5 %.

Превышение фактического значения критерия F над табличным свидетельствует о существенных различиях делянок по плодородию почв.

14.Сделанные выводы позволяют продолжить дисперсионный анализ для оценки достоверности различий урожайности пшеницы при парном сравнении предшественников или способа обработки (см.задачу 3.2.)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: