Условие: Имеются данные по урожайности выборочных кустов винограда разных сортов ( таб. 3.9, см. также таб. 1.10).

Оценить достоверность различий в урожайности по сортам при уровне вероятности суждения 0,95.

Таблица - 3.9 Урожайность кустов винограда разных сортов, кг

Сорт	Урожай с 1 куста, кг	Итого	Средняя
А					-	-
Б
В						-
Итого

Решение:

1. Выдвинем нулевую и альтернативную гипотезы

H ₀ : (различий в средней урожайности по сортам нет)

H₀ : (средняя урожайность по сортам достоверно различна)

2. Определим модель дисперсионного анализа. Группировочный признак - один (сорт), следовательно, модель однофакторная. Так как в условии задачи специально не оговаривается наличие каких-либо общих условий при отборе кустов, следует признать выборки независимыми. Таким образом, в нашей задаче два источника вариации: 1) сорт (признак, по которому проведена группировка кустов); 2) остальные (случайные) факторы: индивидуальные особенности растений и т.п.

Общий объем вариации равен сумме объемов вариации по источникам варьирования: W общ = W фактора + W остаточная

3. Условные обозначения примем аналогичными для задач 1.10. и 4.1. Расчет объемов вариации по источникам варьирования и все необходимые данные для их расчета представлены в задаче 1.10.

Общий объем вариации урожайности равен

736 - 736 - 686 = 50

Объем вариации урожайности, обусловленный сортами

=

Объем вариации, обусловленный прочими, случайными факторами равен

W_ост. = W_общ. - W_{фактора}

W_ост = 50 – 32 = 18

4. Рассчитаем число степеней свободы для каждого источника варьирования.

В задаче общее число наблюдений N=14, число групп m = 3.Для общего объема вариации число степеней равно V o= N-1= 14-1 = 13

Число степеней свободы для факторной дисперсии: V _{фактора} = m-1 = 3-1 = 2

Число степеней свободы для остаточной дисперсии: V _ост. = V _o -V _{фактора =}

13 – 2 = 11

5. Рассчитаем необходимые для дальнейшего анализа дисперсии признака

- Дисперсия по фактору S _факт ² = =

- Дисперсия остаточная S² _ост = =

6. Определим фактическое значение F- критерия

F_факт = =

7. Определим теоретическое значение критерия F –распределения при заданном уровне значимости 0,05 (Приложение 4): 3,98.

8. Результаты решения запишем в таблицу 3.10.

Таблица - 3.10 Расчет и анализ дисперсий

9. Сделаем вывод, с опоставив фактическое и табличное значение критерия F. Так как фактическое значение критерия превышает табличное и находится в критической области, нулевая гипотеза о равенстве выборочных средних величин в генеральных совокупностях должна быть отвергнута. Принимаем альтернативную гипотезу. С вероятностью 0,95 можно утверждать, что между уровнями урожайности по сортам имеются достоверные различия.

10.С целью проверки статистических гипотез относительно достоверности попарных различий между сортами при разных по численности выборок применим критерий F_Ψ-Шеффе.

Проверку гипотез проведем в следующей последовательности

а) Сформулируем статистические гипотезы относительно средних величин в генеральных совокупностях при парном их сравнении:

Нулевые гипотезы Альтернативные гипотезы

Н ₀: Н _а :

Н ₀: Н _а:

Н ₀: Н _а:

б) Рассчитаем фактические разности выборочных средних, сопоставив попарно средние урожайности по сортам

Ψ_1,2 = 7-5=2 Ψ_2.3= 9-7=2 Ψ_1,3 =9-5=4

в) Для каждой разности найдем ее ошибку выборки по формуле

S _Ψ = , где S²_ост –остаточная дисперсия, n₁-численность 1-ой выборки, n₂-численность 2-ой выборки.

Для первой разности S_Ψ1,2 = =

Для второй разности S_Ψ2,3 = =

Для третьей разности S_Ψ13 = =

г) Рассчитаем фактические значения критерия Шеффе как отношение разности средних (рассматриваемой как предельная ошибка) к ее ошибке выборки. F_Ψ =

F_Ψ1 = F_Ψ2= F_Ψ3=

д) Теоретическое значение критерия равно F _Ψтабл = , где L- число групп, F – критерий Фишера при заданном уровне значимости, числа степеней свободы для факторной дисперсии (V_факт = 2) и числа степеней свободы для остаточной дисперсии (V_{ост =} 11), равный 3,98.

F _Ψтабл = =2,821

е) Сравним фактические значения критерия Шеффе с критическим значением и сделаем вывод.

Нулевые гипотезы о равенстве средних в первой и второй паре генеральных совокупностей должны быть приняты, так как фактические значения критерия меньше соответствующего критического значения. Следовательно, с вероятностью ошибки 5 случаев из 100 можно утверждать, что урожайность кустов винограда 1 и 2, 2 и 3 сортов различается несущественно.

Нулевую гипотезу о равенстве средних в третьей паре (Х₁ - Х₃) следует признать неверной, так как фактическое значение критерия Шеффе больше критического значения. Принимаем альтернативную гипотезу. Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что третий сорт винограда имеет достоверно более высокий уровень урожайности по сравнению с первым сортом.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: