Задача 3.1.2 Однофакторный дисперсионный анализ при неслучайном формировании выборок равной численности

Условие: Проведен полевой опыт, в котором изучалось влияние способа внесения гербицида аценита на урожайность пшеницы (Таб. 3.4). При подборе делянок (повторностей) учитывалось плодородие почв.

Установить, достоверны ли различия в урожайности культуры по вариантам опыта. Уровень вероятности суждения 0,95.

Решение:

I. Выдвинем нулевую и альтернативную гипотезы

H ₀ : , (между средними величинами в генеральных совокупностях нет достоверных различий, следовательно, способ внесения гербицида не оказывает влияние на уровень урожайности пшеницы)

H₀ : , (между средними величинами в генеральных совокупностях есть достоверные различия, обусловленные влиянием способа внесения аценита).

Таблица -3.4. Урожайность пшеницы при разных способах внесения аценита, ц /га

Способ внесения аценита	Повторности	Итого	Средняя
I-под культивацию							28,8
II-ленточный							40,0
III-под боронование							38,4
Итого Σ x i						Σ xij= 536	= 35,7

2. Определим модель дисперсионного анализа.

Группировочный признак один (способ внесения), следовательно, модель однофакторная. Так как в качестве повторностей рассматривались делянки, имеющие общность условий – одинаковое плодородие почв, то повторности следует признать зависимыми выборками. Таким образом, в нашей задаче три источника вариации:

1) способ внесения аценита (признак, по которому проведена группировка делянок)

2) плодородие почв по повторностям

3) остальные (случайные) факторы

Общий объем вариации равен сумме объемов вариации по источникам варьирования: W общ = W фактора + W повторностей + W остаточная

3. Условные обозначения примем аналогичными для задачи 3.1. Составим таблицу квадратов 3.5. и сделаем в ней вычисления. Для этого все значения, а также суммы значений по строкам и столбцам из таблицы 3.4. возведем в квадрат. Сумма квадратов значений признака по строкам должна быть равна сумме квадратов значений по столбцам. Эта сумма будет составлять сумму квадратов всех значений признака в совокупности Σх_ĭ ² = Σх_ĵ ² = Σх_ij ²

Таблица - 3.5. Квадраты значений признаков и их сумм

Способ внесения	Повторности	Сумма квадратов	Квадрат суммы
I
II
III
Сумма квадратов						Σ x2 ij =19586	=97600
Квадрат суммы						=57548	(Σ xij)2 =287296

4. Расчет объемов вариации по источникам варьирования проведем по рабочим формулам, рассмотренным в задаче 1.10.

Общий объем вариации урожайности пшеницы равен

19586- 19586 – 19153,0667= 432,9333

Объем вариации по вариантам опыта определим по формуле

=

Объем вариации по повторностям равен =

= 19182,6667 - 19153,0667 = 29,6

Объем вариации, обусловленный остальными (случайными) факторами равен согласно правилу разложения объемов вариации разности общего объема вариации и вариации фактора и вариации повторностей

W_ост. = W_общ. - W_{фактора} – W _повт.

432,9333- 366,9333 - 29,6000 = 36,4

5. Рассчитаем число степеней свободы для каждого источника варьирования.

В нашей задаче общее число наблюдений N=15, число групп m = 3, число повторностей n = 5.

Для общего объема вариации число степеней равно

V _o= N-1= 15-1 = 14

Число степеней свободы для факторной дисперсии:

V _{фактора} = m-1 = 3-1 = 2

Число степеней свободы для дисперсии повторностей:

V _повт = n-1 = 5-1 = 4

Число степеней свободы для остаточной дисперсии:

V _ост. = V _o - V _{фактора} - V _{повт =}14 – 2 -4= 8

6. Рассчитаем необходимые для дальнейшего анализа дисперсии признака

- Дисперсия по фактору

S _факт ² = =

- Дисперсия по повторностям S _повт ² = =

- Дисперсия остаточная S² _ост = =

Примечание: Общую дисперсию не вычисляем, так как она не участвует в дальнейшем анализе.

7. Определим фактическое значение F- критерия для каждого источника вариации:

- по фактору F_факт = =

- по повторностям F_повт = =

8. Определим теоретические значения критерия F –распределения для каждого источника вариации при заданном уровне значимости 0,05 (приложение 4). Для первого источника вариации в приложении 4 находим по горизонтали в первой строке число степеней свободы для большего среднего квадрата (факторной дисперсии), V₁= 2, и опускаем перпендикуляр до строки, указывающей число степеней свободы для меньшего среднего квадрата (остаточной дисперсии) –V₂= 8. На пересечении находим значение 4,46.

Для дисперсии повторностей теоретическое значение F находим на пересечении V₁=4(по столбцу) и V ₂ =8 (по строке), равное 3,84.

9. Результаты решения запишем в таблицу 3.6

Таблица - 3.6. Расчет и анализ дисперсий

10. Сделаем вывод, с опоставив фактическое и табличное значение критерия F. По первому источнику вариации (способ внесения гербицида) фактическое значение критерия превышает табличное. Так как фактическое значение попадает в критическую область критерия, нулевая гипотеза о равенстве выборочных средних величин в генеральных совокупностях должна быть отвергнута. Принимаем альтернативную гипотезу и применительно к содержанию задачи заключаем, что с вероятностью 0,95 способ внесения гербицида существенно влияет на уровень урожайности культуры.

По второму источнику вариации (плодородие почв) фактическое значение критерия F ниже табличного, следовательно попадает в область допустимых значений. Принимаем нулевую гипотезу как верную и делаем вывод о том, что различия в урожайности по повторностям нельзя признать существенными.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: