![]() ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Примеры решения задач
Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением для полной энергии частицы E = 1/2· m · ω 2· A 2,
где ω = 2π/ T. Отсюда для амплитуды получим A = Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = – k x, где k – коэффициент квазиупругой силы; x – смещение колеблющейся точки. Сила будет максимальной при максимальном смещении x max, равном амплитуде: F max = kA. Коэффициент k выразим через период колебаний: k = m ω2 = 4π2 m / T 2. Подставив выражения для полной энергии и коэффициента k в формулу для амплитуды и произведя упрощения, получим
Проведем анализ размерности:
Произведем вычисления: A = F max = Пример 16. Платформа совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с частотой 2 Гц и амплитудой 1 см. На платформе лежит груз, коэффициент трения которого о платформу 0,2. Будет ли груз скользить по платформе? Ответ обосновать.
Для решения приведем рисунок 13.
Груз будет скользить в том случае, когда максимальная сила инерции m · amax, действующая на груз будет равна или больше силы трения F тр. В рассматриваемом случае сила трения F тр = µ · m · g, (34)
где m – масса груза; g – ускорение свободного падения. Максимальное ускорение силы инерции amax равно максимальному ускорению колеблющейся платформы, которое определяется как
amax = ω 2 · А или amax = 4π2 · ν 2 · А.
Произведение amax и массы груза дает максимальную силу инерции: F ин = m · 4 π 2 · ν 2 · А. (35)
Приравняв (34) и (35) и выразив ν, получим формулу для частоты, при которой груз будет скользить по платформе
Произведем вычисления:
Согласно условию груз будет скользить при значении частоты, равном полученному значению или больше него. Так как заданное значение частоты меньше полученного, то груз не будет скользить по платформе.
Решение При электрических колебаниях кинематическое уравнение колебания заряда записывается в виде
где ω – циклическая частота колебания; φ 0 – начальная фаза колебания. Взяв производную по времени от заряда, получим уравнение колебания силы тока
В уравнении (36) произведение максимального заряда и циклической частоты определяет максимальное (амплитудное) значение силы тока:
При известных значениях q max и I max можно найти циклическую частоту. По условию задачи требуется найти ν. Поэтому используем формулу, которая связывает ω и ν:
ω = 2π · ν. (38)
Подставив (38) в (37) и выразив ν, получим расчетную формулу
Произведем расчеты:
Пример 18. Напряжение и сила тока в катушке изменяются по законам U (t) = 60sin(314 t + 0,25 π)и i (t) = 15·sin(314· t). Определить разность фаз Δφ между током и напряжением, а также полное Z, активное R и реактивное X p сопротивления катушки.
Известно, что фазой колебания называется величина, стоящая под знаком sin или cos. Поэтому искомая разность фаз Δφ определяется, как разность
Δ φ = (314· t +0,25 π) – 314· t = 0,25 π.
Полное сопротивление определим с помощью законf Ома для цепи переменного тока
где U a и I a – амплитудные значения напряжения и силы тока. Из заданных уравнений следует, что U a = 60 В и I a = 15 А. Следовательно, полное сопротивление
Для определения активного R и реактивного
и для сдвига фаз
где L – индуктивность катушки. Выразив ω · L из (40) и подставив в (39), получим формулу для активного сопротивления
Подставив в эту формулу найденные значения Z и Δ φ рассчитаем R:
Теперь по формуле (39) можно найти Х р
Таким образом, получили, что при такой разности фаз R = X p. Пример 19. Синусоидальная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15м/с. Период колебания точек шнура 2,4 с, а амплитуда колебания 7 см. Определить длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на 45 м от источника колебаний, через 4 с.
Уравнение синусоидальной волны имеет вид:
где ω – циклическая частота; k – волновое число; ω·t – k·x =Ф – фаза колебаний. Выразим ω и k через заданные величины:
Тогда формула фазы примет вид
Определим длину волны λ:
λ = υ ·Т = 15 · 2,4 = 36 м
и фазу волны:
Теперь, подставив это значение фазы в формулу (41), определим искомое смещение:
S (x,t) = 7 · 10-2 · sin(5π/6) = 3,5 · 10-2 м.
Пример 20. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой 300 Гц. Скорость распространения колебаний в среде равна 1,5 км/с. Определить, при какой наименьшей разности хода волн будет наблюдаться максимальное ослабление колебаний. Каков результат интерференции в точке, расположенной на расстоянии 20 м от первого источника и 30 м от второго?
Для решения задачи используем условие усиления
и ослабления когерентных волн при их наложении
где m = 0, 1, 2, λ – длина волны. Найдем искомую разность хода. Из (44) следует, что волны будут ослаблять друг друга, если в точку наложения они приходят с разностью хода Δх, равной нечетному числу полуволн. Минимальной разности хода соответствует m = 0. Поэтому
По известной формуле найдем длину волн:
λ = υ· Т = υ / ν = 1500/300 = 5 м.
По формуле (44) для ∆х min получим
∆ х min = 5/2 = 2,5 м.
Найдем результат наложения волн в заданной точке, для которой разность хода равна х 2 – х 1 = 30 – 20 =10 м. Из формул (43) и (44) видно, что результат наложения волн зависит от того, четному или нечетному числу λ /2 равна разность хода. Поделив заданную разность хода на λ /2, получим
Число полуволн получилось четным. Это значит, что в заданной точке будет происходить усиление волн.
Список литературы
1. Трофимова, Т.И. Курс физики: Учебное пособие для втузов / Т.И. Трофимова – М.: Изд. «Академия», 2007.– 560с. 2. Детлаф А.А, Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа. 2001. – 718с. 3. Трофимова, Т.И. Курс физики. Задачи и решения. Учебное пособие для втузов/Т.И. Трофимова, А.В. Фирсов.– М.: Изд. «Академия», 2004.–592с. 4. Волькенштейн, B.C. Сборник задач по общему курсу физики.– М.: Изд. «Наука», 2003.– 328с. 5. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высш. шк. 1981.– 430с. 6. Сена, Л.А. Единицы физических величин и их размерность. – М.: Наука, 1988.– 432 с.
Приложение А (справочное) Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|