Примеры решения задач

Пример 15. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом T = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы E = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F _max, действующей на частицу.

Решение

Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением для полной энергии частицы

E = 1/2· m · ω ²· A ²,

где ω = 2π/ T.

Отсюда для амплитуды получим

A = .

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = – k x, где k – коэффициент квазиупругой силы; x – смещение колеблющейся точки. Сила будет максимальной при максимальном смещении x _max, равном амплитуде:

F _max = kA.

Коэффициент k выразим через период колебаний:

k = m ω² = 4π² m / T ².

Подставив выражения для полной энергии и коэффициента k в формулу для амплитуды и произведя упрощения, получим

.

Проведем анализ размерности:

.

Произведем вычисления:

A = = 0,045 (м) = 45 мм;

F _max = = 4,44·10^-3 (Н) = 4,44 мН.

Пример 16. Платформа совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости с частотой 2 Гц и амплитудой 1 см. На платформе лежит груз, коэффициент трения которого о платформу 0,2. Будет ли груз скользить по платформе? Ответ обосновать.

Решение

Для решения приведем рисунок 13.

Груз будет скользить в том случае, когда максимальная сила инерции m · a_max, действующая на груз будет равна или больше силы трения F _тр. В рассматриваемом случае сила трения

F _тр = µ · m · g, (34)

где m – масса груза;

g – ускорение свободного падения.

Максимальное ускорение силы инерции a_max равно максимальному ускорению колеблющейся платформы, которое определяется как

a_max = ω ² · А или a_max = 4π² · ν ² · А.

Произведение a_max и массы груза дает максимальную силу инерции:

F _ин = m · 4 π ² · ν ² · А. (35)

Приравняв (34) и (35) и выразив ν, получим формулу для частоты, при которой груз будет скользить по платформе

.

Произведем вычисления:

.

Согласно условию груз будет скользить при значении частоты, равном полученному значению или больше него. Так как заданное значение частоты меньше полученного, то груз не будет скользить по платформе.

Пример 17. В колебательном контуре происходят свободные колебания. Зная, что максимальный заряд конденсатора 10^-6 Кл, а максимальная сила тока 10 А, найти частоту колебаний этого контура.

Решение

При электрических колебаниях кинематическое уравнение колебания заряда записывается в виде

,

где ω – циклическая частота колебания;

φ ₀ – начальная фаза колебания.

Взяв производную по времени от заряда, получим уравнение колебания силы тока

. (36)

В уравнении (36) произведение максимального заряда и циклической частоты определяет максимальное (амплитудное) значение силы тока:

. (37)

При известных значениях q _max и I _max можно найти циклическую частоту. По условию задачи требуется найти ν. Поэтому используем формулу, которая связывает ω и ν:

ω = 2π · ν. (38)

Подставив (38) в (37) и выразив ν, получим расчетную формулу

.

Произведем расчеты:

.

Пример 18. Напряжение и сила тока в катушке изменяются по законам U (t) = 60sin(314 t + 0,25 π)и i (t) = 15·sin(314· t).

Определить разность фаз Δφ между током и напряжением, а также полное Z, активное R и реактивное X _p сопротивления катушки.

Решение

Известно, что фазой колебания называется величина, стоящая под знаком sin или cos. Поэтому искомая разность фаз Δφ определяется, как разность

Δ φ = (314· t +0,25 π) – 314· t = 0,25 π.

Полное сопротивление определим с помощью законf Ома для цепи переменного тока

,

где U _a и I _a – амплитудные значения напряжения и силы тока.

Из заданных уравнений следует, что U _a = 60 В и I _a = 15 А. Следовательно, полное сопротивление

.

Для определения активного R и реактивного сопротивлений запишем формулы для полного сопротивления

(39)

и для сдвига фаз

, (40)

где L – индуктивность катушки.

Выразив ω · L из (40) и подставив в (39), получим формулу для активного сопротивления

.

Подставив в эту формулу найденные значения Z и Δ φ рассчитаем R:

.

Теперь по формуле (39) можно найти Х _р

.

Таким образом, получили, что при такой разности фаз R = X _p.

Пример 19. Синусоидальная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15м/с. Период колебания точек шнура 2,4 с, а амплитуда колебания 7 см. Определить длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на 45 м от источника колебаний, через 4 с.

Решение

Уравнение синусоидальной волны имеет вид:

, (41)

где ω – циклическая частота;

k – волновое число;

ω·t – k·x =Ф – фаза колебаний.

Выразим ω и k через заданные величины:

и .

Тогда формула фазы примет вид

. (42)

Определим длину волны λ:

λ = υ ·Т = 15 · 2,4 = 36 м

и фазу волны:

.

Теперь, подставив это значение фазы в формулу (41), определим искомое смещение:

S (x,t) = 7 · 10^-2 · sin(5π/6) = 3,5 · 10^{-2 м.}

Пример 20. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой 300 Гц. Скорость распространения колебаний в среде равна 1,5 км/с. Определить, при какой наименьшей разности хода волн будет наблюдаться максимальное ослабление колебаний. Каков результат интерференции в точке, расположенной на расстоянии 20 м от первого источника и 30 м от второго?

Решение

Для решения задачи используем условие усиления

(43)

и ослабления когерентных волн при их наложении

, (44)

где m = 0, 1, 2,

λ – длина волны.

Найдем искомую разность хода.

Из (44) следует, что волны будут ослаблять друг друга, если в точку наложения они приходят с разностью хода Δх, равной нечетному числу полуволн. Минимальной разности хода соответствует m = 0.

Поэтому

. (45)

По известной формуле найдем длину волн:

λ = υ· Т = υ / ν = 1500/300 = 5 м.

По формуле (44) для ∆х _min получим

∆ х _min = 5/2 = 2,5 м.

Найдем результат наложения волн в заданной точке, для которой разность хода равна х ₂ – х ₁ = 30 – 20 =10 м.

Из формул (43) и (44) видно, что результат наложения волн зависит от того, четному или нечетному числу λ /2 равна разность хода.

Поделив заданную разность хода на λ /2, получим

.

Число полуволн получилось четным. Это значит, что в заданной точке будет происходить усиление волн.

Список литературы

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: Учебное пособие для втузов / Т.И. Трофимова – М.: Изд. «Академия», 2007.– 560с.

2. Детлаф А.А, Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа. 2001. – 718с.

3. Трофимова, Т.И. Курс физики. Задачи и решения. Учебное пособие для втузов/Т.И. Трофимова, А.В. Фирсов.– М.: Изд. «Академия», 2004.–592с.

4. Волькенштейн, B.C. Сборник задач по общему курсу физики.– М.: Изд. «Наука», 2003.– 328с.

5. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Высш. шк. 1981.– 430с.

6. Сена, Л.А. Единицы физических величин и их размерность. – М.: Наука, 1988.– 432 с.

Приложение А

(справочное)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: