Аксиомы стереометрии и следствия из них. (Следствие доказать(по выбору)

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

В стереометрии так же как и в планиметрии свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.

С введением плоскости появляется необходимость расширить системы аксиом.

Аксиома(А1): Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А
В (точки А, В, С лежат в плоскости )
С

(А2): Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

АB
Прямая АВ лежит в плоскости

(А3): Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

а = М
Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Доказательство. Пусть АВ – данная прямая и С – не лежащая на ней точка. Проведем через точки А и С прямую (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точка С не лежит на прямой АВ. Проведем через прямые АВ и АС плоскость (аксиома 3). Она проходит через прямую АВ и точку С.

Докажем, что плоскость ,проходящая через прямую АВ и точку С, единственна.

Допустим, существует другая плоскость 1, проходящая через прямую АВ и точку С. По аксиоме 2 плоскости и 1 пересекаются по прямой. Эта прямая должна содержать точки А, В, С. Но они не лежат на одной прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: