Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак препендикулярности прямой и плоскости (доказать).

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

Теорема

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной прямой.

Доказательство

Пусть a – прямая, перпендикулярная прямым b и с в плоскости α. Тогда прямая a проходит через точку A пересечения прямых b и с. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости α.
Проведем произвольную прямую x через точку A в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, с и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X..
Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AA1 и AA2. Треугольник A1CA2 равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению. Треугольник A1BA2 так же равнобедренный. Следовательно, Δ A1BC = ΔA2BC по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников A1BC и A2BC следует равенство углов A1BX и A2BX, следовательно, равенство треугольников A1BX и A2BX по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон A1X и A2X, следует, что A1XA2 равнобедренный. Поэтому его медиана XA является высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.

35. Двугранный угол. Угол между плоскостям. Трёхгранный угол. Многогранный угол.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Плоскости, образующие двугранный угол, называется его гранями. Прямая а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90^о (меньше 90^о, больше 90^о)

Трехгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами, не лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих углов называется вершиной трехгранного угла. Стороны углов называются ребрами, плоские углы при вершине трехгранного угла называются его гранями. Грани трехгранного угла образуют двугранные углы.

Многогранный угол (a₁a₂a₃... a_n) определяется как фигура, состоящая из n плоских углов с общей вершиной О.Грани и ребра многогранного угла определяются аналогично граням и ребрам трехгранного угла. Трехгранные углы составляют углы зданий, а многогранные углы — купола отдельных зданий, углы крыш.

Векторы в пространстве. Действия над векторами. Компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом, называется вектором. Направление вектора на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Два вектора равны, если их длины равны и они сонаправлены.

b

c

a

Действие над векторами:

1)Сложение: a+b

Правило треугольника.

Начало одного вектора совпадает с концом другого.

b

a+b a

Правило параллелограмма – общее начало.

a+b a

b

2)Вычитание: m - n= m +(- n)=…

Разность двух векторов сводим к нахождению к сумме вектора первого со вторым противоположным второму.

m m - n

-n

Умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k|.| a |, причем векторы a и b сонапрвлены при k > 0 и противоположно направлены при k<0.

m

-3 m

2 m

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и ой же точки они будут лежать в одной плоскости.

Если вектор с можно разложить по векторам а и b, т. е. представить в виде с = x a +y b, где х и у – некоторые числа, то векторы a, b и c компланарны.

Если вектор p представлен в виде

p=x a +y b +z c,

где х_, у и z-некоторые числа, то говорят, что вектор p разложен по векторам a, b и c.Числа х, у,z называются коэффициентами разложения.

Теорема

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: