Критические точки функции. Теорема существования экстремумов функции. Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где f(х)>0 и f'(х)<0

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где f(х)>0 и f'(х)<0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 1 и 2). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

Необходимое условие экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:F’(x₀) =0.

Рассмотрим случай f'(x₀)>0. По определению производной отношение при х→х0 стремится к положительному числу f' (х₀), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к x₀. Для таких х

и, значит, f(x)>f(x₀) для всех х>х₀ из некоторой окрестности точки x₀. Поэтому х₀ не является точкой максимума.

Если же х<х₀, то f (x)<f(x₀), и, следовательно, х₀ не может быть и точкой минимума f.

Случай F'(x₀)<0 разбирается аналогично.

Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f(х)=х³ обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 3).

До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например, точка 0 для функции не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстрему.

Многогранник. Основные понятия. Правильные многогранники.

Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника.

Простейшие многогранники: куб, призма, пирамида.

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с один и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. У тетраэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребра равны. У куба все грани – квадраты. В каждой вершине сходятся по три ребра. Куб – это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. У октаэдра грани – правильные треугольники. В каждой вершине сходится по четыре ребра. У додекаэдра грани – правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра. У икосаэдра грани – правильные треугольники. В каждой точке сходится по пять ребер.

56. Призма. Основные элементы: основания, боковое ребро, высота, боковая грань, диагональ, диагональное сечение. Правильная призма.

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, - боковыми ребрами призмы.

Свойства призмы:
1. Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
2. Боковые ребра параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям.
У прямой призмы грани – прямоугольники.

Призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: