Числовой ряд. Частичная сумма ряда. Сходящийся и расходящийся ряд. Знакоположительные и знакопеременные ряды. Необходимое условие сходимости числового ряда.

ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности { a_n } называется числовым рядом:

a 1 + a 2+ a 3 + … + a_n + … = .

Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности { a_n }

S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, …, S_n = = a 1 + a 2 + a 3 + … + a_n, …

Значения S_n называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность { S_n } последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда a_n – общий член ряда.

Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S,то есть

,

то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:

a 1 + a 2 + a 3 + … + a_n + … = S, или = S.

В противном случае ряд называют расходящимся.

Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.

Пусть есть геометрическая прогрессия b_n = b 1 qⁿ –1, знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы (–1 < q < 1). Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии:

S_n= b 1+ b 1 qⁿ + b 1 q 2 + … + b 1 qⁿ –1 = .

Очевидно, что при | q | < 1 с ростом n значение qⁿ стремится к нулю. Тогда значение S_n стремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b 1 + b 1 qⁿ + b 1 q 2 + …= .

Признаки сходимости рядов.

Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю: .

Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда .

Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда: , однако, ряд расходится, так как частичные суммы

неограниченно возрастают.

Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признак Д'Аламбера:если существует такое положительное c < 1, что начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд сходится. Если же начиная с некоторого n, выполняется неравенство

,

то ряд расходится. Отсюда, в частности, следует сходимость геометрической прогрессии при знаменателе 0 < q < 1 и расходимость при q і 1.

ПризнакКоши:если существует такое положительное c < 1, что, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд сходится. Если же, начиная с некоторого n, выполняется неравенство:

,

то ряд расходится.

Особое место среди рядов занимают такие, в которых знаки слагаемых строго чередуются, а абсолютные величины рядов монотонно убывают. Оказывается, для таких рядов необходимый признак сходимости ряда является одновременно и достаточным, т.е., если , то ряд сходится.

Некоторые замечательные ряды.

– гармонический ряд, расходится.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: