Элементарные задачи на построение

Возможность такого построения вытекает из аксиомы откладыва­ния отрезка. С помощью циркуля и линейки оно осуществляется сле­дующим образом. Пусть даны прямая а и отрезок АВ. Отмечаем на прямой точку С и строим с центром в точке С окружность радиусом, равным отрезку АВ. Точку пересечения окружности с прямой а обозначаем D. Получаем отрезок СD, равный АВ.

2.Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.

Пусть даны угол А и полупрямая с начальной точкой О. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла (рис. 149, а). Точки пересечения окружности со сторонами угла обозначим В и С. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О (рис. 149,б). Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим В'. Опишем окружность с центром В' и радиусом ВС. Точка С ' пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

Построенный угол В'ОС' равен углу ВАС, так как это соответствующие углы равных треугольников АВС и В'ОС'.

3. Найти середину отрезка. Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности одного радиуса с центрами А и В (рис. 150). Они пересекаются в точках С и С', лежащих в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Проведем прямую СС'. Она пересечет прямую АВ в точке О. Эта точка и есть середина отрезка АВ.

Действительно, треугольники САС' и СВС' равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов АСО и ОСВ. Значит, отрезок СО - биссектриса равнобедренного треугольника АСВ и, следовательно, его медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.

4. Построить биссектрису данного угла. Из вершины А данного угла как из центра описываем окружность произвольного радиуса (рис. 151). Пусть В и С - точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С описываем окружности одного радиуса. Пусть D - точка их пересечения, отличная от А. Тогда полупрямая АD и есть биссектриса угла А. Докажем это. Для этого рассмотрим треугольники АВD и АСD. Они равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство соответствующих углов DАВ и DАС т.е. луч АD делит угол ВАС пополам и, следовательно, является биссектрисой.

5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.

Пусть даны точка О и прямая а. Возможны два случая:

1)точка О лежит на прямой а;

2)точка О не лежит на прямой а.

В первом случае построение выполняется так же, как и в задаче 4, потому что перпендикуляр из точки О, лежащей на прямой, - это биссектриса развернутого угла (рис. 152).

Во втором случае из точки О как из центра проводим окружность, пересекающую прямую а (рис. 153), а затем из точек А и В тем же радиусом проводим еще две окружности. Пусть О' - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Прямая ОО' и есть перпендикуляр к данной прямой а. Докажем это.

Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО'. Треугольники АОВ и АО'В равны по трем сторонам. Поэтому угол ОАС равен углу О'АС и, значит, треугольники ОАС и О'АС равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда их углы АСО и АСО' равны. А так как углы смежные, то они прямые. Таким образом, ОС есть перпендикуляр к прямой а.

6. Через данную точку провести прямую, параллельную данной. Пусть даны прямая а и точка А вне этой прямой (рис. 154). Возьмем на прямой а какую-нибудь точку В и соединим ее с точкой А.

Через точку А проведем прямую с, образующую с АВ такой же угол, какой АВ образует с данной прямой а, но на противоположной стороне от АВ. Построенная прямая будет параллельна прямой а, что следует из равенства накрест лежащих углов, образованных при пересечении