Аксиоматике евклидовой геометрии

После IIIв. до н.э. геометрия развивалась медленно - требовались новые идеи и методы, необходимо было развитие понятия числа и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Греции (работы Диофанта, III в.), а затем в Индии, где были открыты десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа.

В IX в. благодаря работам Мухаммеда аль-Хорезми дальнейшее развитие получила алгебра. Позже таджикский поэт и ученый Омар Хайям (конец XI - начало XII в.) дал определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Принадлежали эти идеи французскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении «Геометрия» он впервые представил метод координат на плоскости, установив тем самым взаимосвязь геометрии с алгеброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически безупречного построения геометрии. Дело в том, что аксиоматически построенная теория должна удовлетворять определенным требованиям математической строгости. Они не абсолютны и в разные периоды истории были различными. Эти требования заставили обратить особое внимание на пятый постулат геометрии Евклида – его трудно было принять очевидным, как остальные аксиомы и постулаты. Поэтому возникло стремление вывести его из остальных постулатов и аксиом. Однако попытки, которые длились более двух тысяч лет, были безуспешными, хотя и сыграли положительную роль в развитии геометрии, так как были сформулированы и доказаны теоремы, раскрывающие новые свойства геометрических фигур.

Переворот в геометрии произошел в начале XIX в., когда несколько ученых пришли к мысли о существовании геометрии, отличной от евклидовой. Первым, кто построил эту геометрию, был Н.И.Лобачевский, профессор Казанского университета. Его рассуждения сводились к следующему.

Рассмотрим в плоскости прямую а и проведем из точки А перпендикуляр АС к прямой а и луч А В, перпендикулярный АС (рис. 132). Возьмем некоторую прямую АМ, пересекающую прямую а в точке М. При неограниченном удалении точки М по прямой а прямая АМ будет приближаться к некоторому предельному положению. Логически могут представиться две возможности:

а) луч АМ совпадает с лучом АВ;

б) луч АМ составит с лучом АВ некоторый острый угол.

Случай а) соответствует аксиоме параллельности: АВ – единственная прямая, проходящая через А и не пересекающая а.

Допуская, что имеет место случай б), Лобачевский начал выводить различные следствия из этого допущения, надеясь, что рано или поздно придет к противоречию, чем и завершится доказательство. Однако, доказав несколько десятков теорем, он так и не обнаружил логических противоречий. И тогда Лобачевский высказал мысль: если заменить пятый постулат его отрицанием (т. е. принять, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, ей параллельной) и сохранить все остальные аксиомы евклидовой геометрии, то получим новую геометрию, которую он назвал «воображаемой», а позднее она была названа его именем – геометрией Лобачевского.

Все теоремы, доказываемые в евклидовой геометрии без использования пятого постулата, сохраняются и в геометрии Лобачевского. Например, вертикальные углы равны; углы при основании равнобедренного треугольника равны; из данной точки можно опустить на данную прямую только один перпендикуляр. Теоремы же, при доказательстве которых применяется пятый постулат, в геометрии Лобачевского видоизменяются, например сумма величин внутренних углов любого треугольника меньше 180°, не существует подобных треугольников: если углы двух треугольников соответственно равны, то эти треугольники равны. Так как в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов четырехугольника меньше 360°, то в ней не существует прямоугольников. Позже было доказано, что аксиоматика, предложенная им, независима и непротиворечива.

Открытие, сделанное Н.И.Лобачевским, сыграло огромную роль в развитии математики и физики. В его работах была не только полностью решена проблема независимости аксиомы параллельности от других аксиом евклидовой геометрии, но и было показано, что аксиомы могут подвергаться изменению, что привлекло внимание ученых к вопросам аксиоматики геометрии. Кроме того, было установлено, что геометрия Лобачевского точно описывает взаимосвязь пространства и времени, открытую А.Эйнштейном в теории относительности.

После открытия Н.И.Лобачевского стало ясно, что пятый постулат (аксиома параллельности) не может быть исключен из списка аксиом и постулатов, сформулированных Евклидом. Общая тенденция к повышению строгости построения математических теорий во второй половине XIX в. сказалась и в геометрии. Она выразилась в стремлении дополнить систему аксиом евклидовой геометрии, включив в нее все предложения, которые неявно использовались при доказательстве теорем.

Итог всем исследованиям в этой области подвел крупнейший немецкий математик Д.Гильберт. Произошло это в конце XIX столетия. В своей книге «Основания геометрии» он дает полный список аксиом евклидовой геометрии и доказывает непротиворечивость этой аксиоматики. Сформулированные им аксиомы относятся к точкам, прямым, плоскостям и отношениям между ними, которые выражаются словами «принадлежит», «лежать между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая и плоскость и каков конкретный смысл указанных отношений, Гильберт не уточняет. Все, что предполагается известным о них, выражено в аксиомах. Они разбиты на пять групп.

Первая группа - аксиомы принадлежности. В них устанавливаются отношения между точками, прямыми и плоскостями.

1. Через две точки проходит одна и только одна прямая.

2. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

3. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

В связи с данными тремя аксиомами сделаем одно замечание. Известно, что на прямой бесконечное множество точек, но в аксиоме 2 отмечается, что их по меньшей мере две. Поэтому бесконечное и. множества точек на прямой надо будет доказывать, исходя из аксиом первой и последующих групп.

Для построения планиметрии ограничиваются указанными аксиомами принадлежности. Для построения стереометрии к ним присоединяются следующие.

4. Через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

5. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то и все точки этой прямой принадлежат указанной плоскости.

6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

7. Существует по крайней мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа – аксиомы порядка. Они определяют понятие «лежать между» и выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости.

1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и А.

2. Для любых двух точек прямой А и В существует на этойпрямой такая точка С, что точка В лежит между точками А и С.

3. Из трех точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими.

4. Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой, и прямая не проходит ни через одну из этих точек. Если при этом прямая а пересекает отрезок АВ (то есть проходит через точку, лежащую между точками А и В), то она пересекает один из отрезков ВС или АС.

Аксиомы первых двух групп позволяют определить понятие отрезка, луча, угла. Отрезок – это система двух точек А и В, принадлежащим прямой а. Точки, расположенные между А и В, называются точками, лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называются концами чип отрезка АВ.

Луч с началом О – это совокупность всех точек прямой, лежащих одной стороны от О.

Угол – это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих разных прямых.

Третья группа - аксиомы равенства (конгруэнтности). Они определяют равенство отрезков и углов.

1. На данной прямой по данную сторону от данной на ней точки можно отложить отрезок, равный данному, и притом единственным образом.

2. Два отрезка, порознь равные третьему, равны между собой

3. Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и С и на некоторой другой или той же прямой точка B ₁ лежит между двумя точками А₁ и С₁ Если при этом отрезок АВ равен отрезку A₁B₁ и отрезок BС равен В₁С₁, то АС = А₁С₁.

4. По данную сторону от данного луча можно отложить данный угол и притом единственным образом.

5. Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.

6. Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, А₁, В₁, С ₁ – тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при это AB = A ₁ B ₁, Ð BAC = Ð B ₁ A ₁ C ₁, то Ð АВС = ÐА₁В₁С₁.

Четвертая группа состоит из аксиомы непрерывности.

1. Если все точки прямой произвольным образом разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса, тогда непременно либо в первом классе есть самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором классе есть самая левая точка (и в первом нет самой правой).

Образно говоря, в этой аксиоме утверждается, что прямая не имеет проколов, что она непрерывна. Действительно, если на числовой прямом выколоть только одну точку - нуль, то числа, соответствующие оставшимся точкам, разделятся на два класса: отрицательные и положительные. И в первом классе (среди отрицательных чисел) нет самого правого (самого большого), а во втором - самого левого.

Пятая группа состоит из единственной аксиомы - аксиомы параллельностисти.

1. В плоскости через точку вне данной прямой нельзя провести более с одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Совокупность всех теорем, выводимых из пяти групп аксиом, составляет евклидову геометрию.

Вообще в основу этой геометрии могут быть положены разные аксиоматики (система основных понятий и аксиом), но, несмотря на их различия, в геометрии изучают одни и те же фигуры и получают одни и те же их свойства. Аксиоматическое построение геометрии осуществляется по одним и тем же правилам:

1. Выделяются основные понятия геометрии, которые принимаются и без определений.

2. Формулируются аксиомы, в которых раскрываются свойства основных понятий, нужные для построения геометрии, т.е. аксиомы по существу являются неявными определениями основных понятий (в остальном природа основных понятий безлична). Система аксиом должна удовлетворять ряду условий.

3. Дальнейшее построение геометрии ведется в соответствии со следующими требованиями:

а) всякое геометрическое понятие (термин), если оно не основное определяется через основные или ранее определенные понятия;

б) всякое геометрическое предложение (теорема, признак, следст. вие) доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем.

Чертежи при таком построении геометрии играют вспомогательную роль.

Упражнения

1. Проанализируйте аксиоматики, положенные в основу школьных
учебников геометрии, ответив на следующие вопросы:

а) Какие понятия и отношения выбраны в качестве основных?

б) Какие группы аксиом выделены? Составьте список всех аксиом.

в) В чем сходство и различие школьной аксиоматики и аксиоматики Гильберта?

2. Верно ли, что:

а) Каждое понятие геометрии можно определить с помощью других, более простых понятий?

б) В геометрии существуют понятия, которые принимаются без определения?

в) Аксиома - это предложение, которое не требует доказательства?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: