Положительные рациональные числа

Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель т и знаменатель разделить на их наибольший общий делитель.

Выясним теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.

Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью , а длина отрезка у – дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n -ая часть отрезка е укладывается в отрезке z т+р раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью .

Поэтому полагают, что .

Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью а положительное рациональное число b – дробью ,

то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

(" а,b ÎQ+) а + b = b + а;

(" а, b, с ÎQ+) (а + b) + с = а + (b + с).

Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями и . Тогда сумма а + b представляется дробью , а сумма b + а- дробью . Так как т, р, п- натуральные числа, то т + р = р + т и, следовательно, а + b = b + а. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.

Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е₁ и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е₁?

Так как X = Е, то п X = т×Е, а из того, что Е = × Е₁ следует, что q × Е = р×Е₁. Умножим первое полученное равенство на q, а второе на т. Тогда (п q)× X = (тq) × Е и (т q) ×Е = (тр) ×Е₁, откуда (п q)Х = (тр)×Е_1. Это равенство показывает, что длина отрезка x при единице длины Е выражается дробью , а значит, , т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при изме­рении длины одного и того же отрезка.

Определение. Если положительное число а представлено дробью , а положительное рациональное число и – дробью , то их произведением называется число аb, которое представляется дробью .

Таким образом, по определению,

(2)

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел. Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.

Определение. Пусть а и b - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а>b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда т <р.

3. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда тq < пр.

4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.

5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества +.

6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.

Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а-b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.

Разность а-b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а-b существует, то она единственна.

Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и , где т<р:

(3)

Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а: b = с тогда и только тогда, когда а = bс.

Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями

(4)

Из этого правила следует, что частное положительных рациональныхчисел всегда существует.