Действительные числа

Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим – измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.

Пусть х – отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е – буквой Е. Пусть отрезок х состоит из п отрезков, равных е, и отрезка x _1, который короче отрезка е (рис. 130), т.е. п×Е < X < (n + 1) ×Е. Числа п и п + 1 есть приближенные значения длины отрезка х при единице длины Е с недостатком и с избытком с точностью до 1.Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е ₁ - десятую часть отрезка е и будем укладывать его в отрезке x. При этом возможны два случая.

1) Отрезок e ₁ уложился в отрезке х ₁ точно п раз. Тогда длина п отрезка х выражается конечной десятичной дробью: Х = ×Е= ×Е. Например, Х= 3,4× E.

2) Отрезок x ₁ оказывается состоящим из п отрезков, равных е ₁, и отрезка х₂, который короче отрезка е ₁,. Тогда ×Е<Х < × Е, где и – приближенные значения длины отрезка х с недостатком и с избытком с точностью до 0,1.

Ясно, что во втором случае процесс измерения длины отрезках можно продолжать, взяв новый единичный отрезок е₂ - сотую часть отрезка е.

На практике этот процесс измерения длины отрезка на каком-то этапе закончится. И тогда результатом измерения длины отрезка будет либо натуральное число, либо конечная десятичная дробь. Если же представить этот процесс измерения длины отрезка в идеале (как и делают в математике), то возможны два исхода:

1) На k -том шагу процесс измерения окончится. Тогда длина отрезка х выразится конечной десятичной дробью вида .

2) Описанный процесс измерения длины отрезка х продолжается бесконечно. Тогда отчет о нем можно представить символом , который называют бесконечной десятичной дробью.

Как убедиться в возможности второго исхода? Для этого достаточно произвести измерение длины такого отрезка, для которого известно, что его длина выражена, например, рациональным числом 5 . Если бы оказалось, что в результате измерения длины такого отрезка получается конечная десятичная дробь, то это означало бы, что число 5 можно представить в виде конечной десятичной дроби, что невозможно: 5 = 5,666....

Итак, при измерении длин отрезков могут получаться бесконечные десятичные дроби. Но всегда ли эти дроби периодические? Ответ на этот отрицателен: существуют отрезки, длины которых нельзя выразить бесконечной периодической дробью (т.е. положительным рациональным числом) при выбранной единице длины. Это было важнейшим открытием в математике, из которого следовало, что рациональных чисел недостаточно для измерения дли отрезков.

Теорема. Если единицей длины является длина стороны квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом выражена положительным рациональным числом.

Доказательство. Пусть длина стороны квадрата выражается числом 1. Предположим противное тому, что надо доказать, т.е., что длина диагонали АС квадрата ABCD выражается несократимой дробью . Тогда по теореме Пифагора, выполнялось бы равенство 1² + 1² = . Из него следует, что m² = 2 n². Значит, m ² – чётное число, тогда и число m – четно (квадрат нечетного числа не может быть четным). Итак, m = 2 p². Заменив в равенстве m² = 2n² число m на 2p, получаем, что 4 p² = 2 n², т.е. 2 p² = n². Отсюда следует, что n² четно, следовательно, n – четное число. Таким образом, числа m и n четны, значит, дробь можно сократить на 2, что противоречит предложению о ее несократимости. Уставновленное противоречие доказывает, что если единицей длины является длина стороны квадрата, то длину диагонали этого квадрата нельзя выразить рациональным числом.

Из доказанной теоремы следует, что существуют отрезки, длины которых нельзя выразить положительным числом (при выбранной единице длины), или, другими словами, записать в виде бесконечной периодической дроби. И значит, получаемые при измерении длин отрезков бесконечные десятичные дроби могут быть непериодическими.

Считают, что бесконечные непериодические десятичные дроби являются записью новых чисел – положительных иррациональных чисел. Так как часто понятия числа и его записи отождествляют, то говорят, что бесконечные непериодические десятичные дроби – это и есть положительные иррациональные числа.

Мы пришли к понятию положительного иррационального числа рез процесс измерения длин отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Так, , , – это иррациональное числа. Иррациональным являются также lg 5, sin 31, числа = 3,14..., е = 2,7828... и другие.

Множество положительных иррациональных чисел обозначаю символом J +.

Объединение двух множеств чисел: положительных рациональных положительных иррациональных называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R +. Таким образом, Q + È J + = R +. При помощи кругов Эйлера эти множества изображены на рисунке 131. Любое положительное действительное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью – периодической (если оно является рациональным), либо непериодической (если оно является иррациональным).

Действия над положительными действительными числами сводятся к действиям над положительными рациональными числами.

Сложение и умножение положительных действительных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а умножения дистрибутивно относительно сложения и вычитания.

С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат измерения любой скалярной величины: длины, площади, массы и т.д. Но на практике часто нужно выразить числом не результат измерения величины, а ее изменение. Причем ее изменение может происходить различно – она может увеличиваться, уменьшаться или оставаться неизменной. Поэтому, чтобы выразить изменение величины, кроме положительных действительных чисел нужны иные числа, а для этого необходимо расширить множество R+, присоединив к нему число 0 (нуль) и отрицательные числа.

Объединение множества положительных действительных чисел с множеством отрицательных действительных чисел и нулем есть множество R всех действительных чисел.

Сравнение действительных чисел и действия над ними выполняются по правилам, известным нам из школьного курса математики.

Упражнения

1. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью:

а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).

2. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

3. Дано множество: .

Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?

4. Известно, что любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: