СВОЙСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

НА ПЛОСКОСТИ

Геометрическую фигуру определяют как любое множество точек.

Отрезок, прямая, круг, шар - геометрические фигуры.

Если все точки геометрической фигуры принадлежат одной плоскости, она называется плоской. Например, отрезок, прямоугольник - это плоские фигуры. Существуют фигуры, не являющиеся плоскими. Это, например, куб, шар, пирамида.

Так как понятие геометрической фигуры определено через понятие множества, то можно говорить о том, что одна фигура включена в другую (или содержится в другой), можно рассматривать объединение, пересечение и разность фигур.

Например, объединением двух лучей АВ и МК (рис. 133) является прямая KВ, а их пересечение есть отрезок АМ.

Различают выпуклые и невыпуклые фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми двумя своими точками содержит также соединяющий их отрезок.

Фигура F₁, изображенная на рисунке 134, выпуклая, а фигура Р₂ - невыпуклая.

Выпуклыми фигурами являются плоскость, прямая, луч, отрезок, точка. Нетрудно убедиться в том, что выпуклой фигурой является круг (рис. 135). Если продолжить отрезок XY до пе­ресечения с окружностью, то получим хорду АВ. Так как хорда содержится в круге, то отрезок XY тоже содержится в круге и, значит, круг - выпуклая фигура.

Для многоугольников известно другое определение: многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Так как рав­носильность этого определения и данного выше для многоугольника доказана, то можно пользоваться и тем, и другим.

Мы вспомнили понятие геометрической Фигуры, уточнили, какие фигуры называются плоскими, выпуклыми и невыпуклыми. Д алее, основываясь на этих понятиях, рассмотрим другие геометрические фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии. Рассмотрим их определения и основные свойства, принимая их без доказательств Знание этого материала и умение применять к решению несложны геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику обучения младших школьников элементам гео метрии.

Углы

Напомним, что угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - его вершиной.

Угол обозначают по-разному: указывают либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две точки на сторонах угла: Ð А, Ð (k, l), Ð АВС.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие плоского угла. Плоский угол - это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Существуют два плоских угла, образованных двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными. На рисунке 136 изображены два плоских угла со сторонами ОА и ОБ, один из них заштрихован. Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна 180°. Справедливость этого свойства вытекает из определения смежных углов.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Углы АОD и СОВ, а также углы АОС и DОВ - вертикальные (рис. 137).

Вертикальные углы равны.

Справедливость этого свойства вытекает из определения вертикальных углов и свойства смежных углов.

Упражнения

1. Назовите свойства угла, которые включены в его определение. Можете ли вы назвать другие свойства понятия «угол»?

2. Чем отличается развернутый угол от прямой линии? Как проверить: является ли данный угол развернутым?

3. Вспомните определение биссектрисы угла. Как, не используя чертежных инструментов, найти биссектрису угла, вырезанного из бумаги?

4. Какой угол образуют биссектрисы вертикальных углов? Ответ обоснуйте.

5. Могут ли вертикальные углы быть: а) прямыми; б) тупыми; в) один острый, другой тупой?

6. Дан угол. Сколько можно построить смежных с ним углов?

7. Найдите величину каждого из двух смежных углов, если:

а) один из них в 4 раза больше другого;

б) один из них на 20° меньше другого.

8. На какой угол повернется минутная стрелка часов в течение: а) часа; б) минуты; в) секунды?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: