Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме.Для того чтобы решить систему уравнений

выписывают расширенную матрицу этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы будут располагаться нули. Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число. С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.

Рассмотрим метод Гаусса на примерах.

Пример 14. Установить совместность и решить систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

.

Имеем Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.

Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

Итак, имеем Далее, подставляя в третье уравнение, найдем Подставляя и во второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные получим Таким образом, имеем решение системы

Вопрос №7

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: