Условия коллинеарности векторов 3.

Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третьего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = {a_x; a_y; a_z} и b = {na_x; na_y; na_z}. Найдем их векторное произведение

= i (a_yna_z - a_zna_y) - j (a_xna_z - a_zna_x) + k (a_xna_y - a_yna_x) = 0 i + 0 j + 0 k = 0

Пример.

Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9} коллинеарны?

Решение: Так как вектора не содержат компоненты равные нулю, то воспользуемся вторым условием коллинеарности, которое в случае плоской задачи для векторов a и b примет вид:

Значит:

Условия компланарности векторов

• Для 3-х векторов.

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

• Для 3-х векторов.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

• Для n векторов.

Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Пример

Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Вопрос №12

Уравнения прямой их виды. Угол между прямыми. Точка пересечения прямых

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: