Властивості додавання векторів

1) властивість нульового вектора:
a+0=a;
2) асоціативність додавання:
(a+b)+c=a+(b+c);
3) комутативність додавання:
a+b=b+a;

Властивості множення вектора на число

1) комутативність:
λa=aλ;

2) асоціативність:
λ(μa)=(λμ)a;

3) дистрибутивність відносно додавання векторів:
λ(a+b)=λa+λb;
4) дистрибутивність відносно додавання чисел:
(μ+λ)a=μa+λa;

Рівняння лінії

Точка й система точок є першими геометричними об’єктами при вивченні аналітичної геометрії. Множина точок, об’єднана певними загальними й характерними тільки для них геометричними властивостями, називається геометричним місцем точок. Геометричне місце точок на площині в загальному випадку утворює лінію.

Розглянемо на площині XOY довільну лінію L (рис.1). Очевидно, що координати будь-якої точки M (x,y), які належать лінії L, не можуть бути довільними. Дійсно, припустимо, що абсциса точки М дорівнює х, тоді ординату можна знайти як проекцію саме цієї точки М на вісь OY. Як видно з рис.1, точка і не належать L, хоча їх абсциси дорівнюють . Отже, абсцисам будь-яких точок лінії L відповідають цілком певні ординати, тобто між координатами точок існує функціональний зв'язок.

Підсумовуючи сказане, ми приходимо до висновку, що лініям на площині, відповідають деякі рівняння з двома змінними величинами x та y. Рівняння зі змінними x та y, яке задовільняють координати будь-якої точки, розташованої на ній, називається рівнянням даної лінії. Координати x та y довільної точки лінії, що входять у це рівняння, називається поточними координатами.

У загальному вигляді рівняння лінії на площині в прямокутній декартовій системі координат має вигляд:

F(x, y) = 0. (1)

Рівняння лінії (1) називається рівнянням лінії в загальному вигляді.

Із означення рівняння лінії випливає, що, коли при підстановці координат точки у дане рівняння отримаємо тотожність, то точка розташована на відповідній лінії, якщо ж тотожність не отримується, то точка не розташована на цій лінії. Останнє твердження є критерієм перевірки проходження лінії через ту чи іншу точку.

Рис.1

Запис рівнянь ліній дає можливість замінити їхні геометричні дослідження розв’язком алгебраїчних задач, які розв’язуються значно простіше, ніж геометричні, а також визначити властивості ліній за допомогою дослідження їхніх рівнянь. При цьому слід зазначити, що, оскільки кожне рівняння можна переписати в різноманітних рівнозначних формах, та слід мати на увазі, що одна й таж лінія може описуватися різними за формою запису рівняннями.

Задачі, дослідження яких вивчає аналітична геометрія, можна умовно поділити на два типи. Перший: знаходження рівнянь геометричного місця точок, які відповідають певним відомим нам властивостям. Другий: визначення властивостей ліній за відомими нам рівняннями.

Рівняння прямої

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: