Неперервність функції

Означення 2.8. Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:

1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;

2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:

, або .

26)))

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

Класифікація точок розриву

Якщо в якійсь точці функція не є неперервною, вона називається розривною в цій точці, а сама точка називається точкою розриву.

Як було раніше сформульовано, функція буде неперервною в точці , якщо існують обидві скінченні односторонні границі і вони обидві дорівнюють значенню функції в точці .

Таким чином, функція буде розривною в точці коли або принаймні одна з односторонніх границь не існує чи нескінченна, або вони не дорівнюють між собою, або, нарешті, вони не дорівнюють значенню функції в цій точці.

В залежності від того, яка з умов порушується, точки розриву класифікуються на точки розриву першого і другого роду.

Означення. Точка розриву називається точкою розриву функції першого роду, якщо в цій точці існують і скінченні обидві односторонні границі.

Коментуючи означення, відмітимо, що, оскільки все ж точка розриву, ці односторонні границі або не дорвнюють одна одній (Рис.1),

або вони, будучи рівними, не співпадають зі значенням функції (Рис.2)

.

В першому випадку з точкою розриву пов'язують стрибок функції в цій точці

,

а в другому розрив називається усувним: його можна "усунути" шляхом перевизначення або довизначення функції в точці , як кажуть, за неперервністю, поклавши дорівнюючим спільному значенню односторонніх границь.Правда, при цьому отримуємо вже іншу функцію, що відрізніється від даної в точці .

Решта точок розриву відноситься до другого роду. Отже, до точок розриву другого роду належать точки, в яких фунція має нескінченні односторонні границі (хоча б одну)(Рис.3), або не має хоча б однієї односторонньої границі взагалі.

Як правило, в точках розриву другого роду функція має вертикальну асимптоту.

27)))

Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).

Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.