Неперервність функції
Означення 2.8. Функція називається неперервною в точці (continuous function at point), якщо:
1) вона визначена в цій точці і в деякому її околі;
2) нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції:
, або .
26)))
Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.
Розрізняють такі види точок розриву:
Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.
Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.
Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.
Класифікація точок розриву
Якщо в якійсь точці функція не є неперервною, вона називається розривною в цій точці, а сама точка називається точкою розриву.
Як було раніше сформульовано, функція буде неперервною в точці , якщо існують обидві скінченні односторонні границі і вони обидві дорівнюють значенню функції в точці .

Таким чином, функція буде розривною в точці коли або принаймні одна з односторонніх границь не існує чи нескінченна, або вони не дорівнюють між собою, або, нарешті, вони не дорівнюють значенню функції в цій точці.
В залежності від того, яка з умов порушується, точки розриву класифікуються на точки розриву першого і другого роду.
Означення. Точка розриву називається точкою розриву функції першого роду, якщо в цій точці існують і скінченні обидві односторонні границі.
Коментуючи означення, відмітимо, що, оскільки все ж точка розриву, ці односторонні границі або не дорвнюють одна одній (Рис.1),

або вони, будучи рівними, не співпадають зі значенням функції (Рис.2)
.
В першому випадку з точкою розриву пов'язують стрибок функції в цій точці
,
а в другому розрив називається усувним: його можна "усунути" шляхом перевизначення або довизначення функції в точці , як кажуть, за неперервністю, поклавши дорівнюючим спільному значенню односторонніх границь.Правда, при цьому отримуємо вже іншу функцію, що відрізніється від даної в точці .
Решта точок розриву відноситься до другого роду. Отже, до точок розриву другого роду належать точки, в яких фунція має нескінченні односторонні границі (хоча б одну)(Рис.3), або не має хоча б однієї односторонньої границі взагалі.
Як правило, в точках розриву другого роду функція має вертикальну асимптоту.
27)))
Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х0 до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x0).
Дія знаходження похідної функції називається диференціюванням.
Похідна функції має такий фізичний зміст: похідна функції в заданій точці – швидкість зміни функції в заданій точці.
Похідна функції має такий геометричний зміст: похідна функції в заданій точці є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції в цій точці, тобто дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|