Неперервність функцій двох змінних

Означення. Функція називається неперервною в точці , якщо Означення. Функція неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області. Означення. Функцію , визначену на множині , називають неперервною за множиною в точці , якщо Означення. Точка називається точкою розриву функції , якщо:функція не визначена в точці ; функція не визначена в точці , проте: не існує; існує, але не дорівнює Означення. Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо існує, але або не визначена в точці , або Неперервність складеної (складної) функції двох зміннихОзначення. Нехай функція визначена на множині ,а змінні і , у свою чергу, залежать від змінних і : , причому обидві функції та визначені на множині . Якщо для будь-якого існує значення , то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію де ; , --проміжні, , --незалежні змінні. Приклад. Функція , де Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді

Теорема 1.6. нехай на множині визначено складену функцію , де і нехай функції неперервні в точці , а функція неперервна в точці , де Тоді складена функція неперервна в точці . Доведення. За умовою теореми функція неперервна. За означенням неперервності функції в точці візьмемо довільне число , тоді існує , що з нерівності (5)випливає нерівність Аналогічно функції за умовою теореми неперервні, тому існують такі і , що з нерівностей і випливають нерівності

(6),(7)

Нехай . Тоді з нерівності

(8)дістанемо нерівності (6) і (7).З урахуванням нерівностей (6) і (7) для нерівності (5) запишемо: .Отже, якщо виконується нерівність (8), маємо ,а це означає, що складена функція неперервна в точці .

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: