Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Частинні похідні. приклади. геометричний зміст




В математиці, часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як константи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.Часткова похідна функції f за змінною x записується так: fx або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.Означення Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад, Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій: Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто, Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію fa, залежну тільки від y: a² + ay + y²: В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже fa - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента: Наведену процедуру можна здійснити для довілього вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y: Тут використовується символ ∂, котрий називають символом часткової похідної.В загальному випадку, часткову похідну функції f(x1,...,xn) за змінною xi в точці (a1,...,an) записують так: В цьому різницевому відношенні усі змінні, крім xi, зафіксовані. Іншими словами, різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.

Важливим прикладом функції кількох змінних є випадок скалярної функції f(x1,...xn) в евклідовому просторі Rn (наприклад, R² або R³). В цьому випадку f має часткову похідну ∂f/∂xj по кожній змінній xj. В точці a, ці часткові похідні визначають вектор Цей вектор називають градієнтом f в точці a. Якщо f диференційовна в кожній точці певної області, то градієнт — векторна функія ∇f, котра в точці a перетворюється у вектор ∇f(a). Відповідно градієнт визначений у векторному полі. Приклади Припустимо V — об'єм конуса; він залежиить від висоти h та радіусу r за формулою часткова похідна об'єму V за радіусом r буде Вона описує, як змінюється об'єм конуса від зміни радіуса при сталій висоті. Часткова похідна за висотою h і вона показує, як змінюється об'єм конуса при зміні висоти та сталому радіусі.Тепер для порівняння знайдемо повні похідні V за змінними r та h. Вони, відповідно, мають вигляд Та






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных