Общий достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и условная сходимости. Примеры.

Теорема: (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)

Пусть

(2)

знакопеременный ряд. Пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(3)

Тогда ряд (2) тоже сходится.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд

(4)

Очевидно 0£U _n +|U _n |£2|U _n | при всех n =1,2,3…. Ряд (3) сходится по условию, поэтому сходится ряд и по признаку сравнения сходится ряд (4). Ряд (2) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходится. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд –расходится (гармонический ряд)

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример 1.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 2.

Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Попробуем применить признак Лейбница:

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд расходится.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: