Степенные ряды. Теорема Абеля.

Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1.1) где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида

(1.2)

Такой ряд всегда сходится при x =0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество.

Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что

Доказательство. Пусть числовой ряд

(1.3)

сходится. Поэтому Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что для всех n =0,1,2,…

Рассмотрим теперь ряд (1.4) предполагая, что Так как и при этом то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится.

Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана.

Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: