ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Степенные ряды. Теорема Абеля.Определение 1.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида (1.1) где a0, a1, a2, …,an,…, а также x0 – постоянные числа. Точку x0 называют центром степенного ряда. Сначала рассмотрим степенные ряды с центром 0, т.е. ряды вида (1.2) Такой ряд всегда сходится при x =0 и, значит, его область сходимости есть непустое множество. Теорема 1.1. (теорема Абеля). Если степенной ряд (1.2) сходится при некотором , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд (12) расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что Доказательство. Пусть числовой ряд (1.3) сходится. Поэтому Но любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M, что для всех n =0,1,2,… Рассмотрим теперь ряд (1.4) предполагая, что Так как и при этом то члены ряда (3.4) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда (геометрической прогрессии). Следовательно, ряд (1.4) сходится, а ряд (1.2) абсолютно сходится. Предположим теперь, что ряд (1.3) расходится, а ряд (1.2) сходится при Но тогда из сходимости ряда (1.2) следует сходимость и ряда (1.3), что противоречит предположению. Теорема доказана. Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенного ряда.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|