ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в рял Тейлора.Имеем степенной ряд, сходящийся на интервале (x0 – R, x0 + R). Суммой ряда является функция f(x) = f(x) (11)
Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x).
Будем последовательно дифференцировать обе части равенства (11) и вычислять производные при х = х0
f (x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + an(x – x0)n +..., f(x0) = a 0
f ‘(x) = a1 + a2(x – x0) + a3(x – x0)2 + … + n an(x – x0)n-1 +..., f ‘(x0) = a1
f ‘’(x) = a2 + a3(x – x0) + a4(x – x0)2 + … + n(n – 1) an(x – x0)n-2 +..., f ‘)’(x0) = 2 a2
f ‘’’(x) = a3 + a4(x – x0) + a5(x – x0)2 +…+ n(n–1)(n–2)an(x – x0)n-3 +..., f’’’(x0) = 23 a3
f(n) (x) = n(n–1)(n–2)... 2 1 an +..., f (n)(x0) = n! a n
Отсюда находим коэффициенты a0 = f(x0), an = f (n)(x0) / n! (12)
Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид
f(x) = (13) и наз. рядом Тейлора, а при х0 = 0 наз. рядом Маклорена. Теорема1(достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Пусть , . Предположим, что функция удовлетворяет условиям: 1) ,2) : и
12. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена. В соответствии с формулой , запишем ряд для почленным дифференцированием (30.12):
Для ряда характерна абсолютная сходимость на интервале . 13. Разложение функции y=sinx в ряд Маклорена. Разложение функции в ряд Маклорена. Вычислим производные данной функции.
… … … …
… … … … Значение и производных в точке 0: , , , , , …, , . Исследуем остаточный член ряда. , так как . , следовательно, и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является помежуток . Таким образом имеет место разложение при : (2) 14. Разложение функции y=ex в ряд Маклорена. Разложение функции в ряд Маклорена. . . Составим для функции формально ряд Маклорена: . Найдем область сходимости этого ряда при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток . Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых x и тем более при любых x. , , тогда Таким образом, имеет место разложение при :
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|