Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в рял Тейлора.




Имеем степенной ряд, сходящийся на интервале (x0 – R, x0 + R). Суммой ряда является функция f(x)

= f(x) (11)

 

 

Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x).

 

Будем последовательно дифференцировать обе части равенства (11) и вычислять производные при х = х0

 

 

f (x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + an(x – x0)n +..., f(x0) = a 0

 

f ‘(x) = a1 + a2(x – x0) + a3(x – x0)2 + … + n an(x – x0)n-1 +..., f ‘(x0) = a1

 

f ‘’(x) = a2 + a3(x – x0) + a4(x – x0)2 + … + n(n – 1) an(x – x0)n-2 +..., f ‘)’(x0) = 2 a2

 

f ‘’’(x) = a3 + a4(x – x0) + a5(x – x0)2 +…+ n(n–1)(n–2)an(x – x0)n-3 +..., f’’’(x0) = 23 a3

 

 

f(n) (x) = n(n–1)(n–2)... 2 1 an +..., f (n)(x0) = n! a n

 

 

Отсюда находим коэффициенты a0 = f(x0), an = f (n)(x0) / n! (12)

 

 

Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

 

f(x) = (13) и наз. рядом Тейлора, а при х0 = 0 наз. рядом Маклорена.

Теорема1(достаточное условие разложимости функции в степенной ряд). Пусть , . Предположим, что функция удовлетворяет условиям: 1) ,2) : и

.

Тогда .

 

 



 

12. Разложение функции y=cosx в ряд Маклорена.

В соответствии с формулой , запишем ряд для почленным дифференцированием (30.12):

 

 

Для ряда характерна абсолютная сходимость на интервале .

13. Разложение функции y=sinx в ряд Маклорена.

Разложение функции в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции.

… … … …

… … … …

Значение и производных в точке 0: , , , , , …, , .

Исследуем остаточный член ряда. , так как

.

, следовательно, и .

Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является помежуток . Таким образом имеет место разложение при :

(2)

14. Разложение функции y=ex в ряд Маклорена.

Разложение функции в ряд Маклорена.

.

.

Составим для функции формально ряд Маклорена:

.

Найдем область сходимости этого ряда при любых x,

следовательно, областью сходимости ряда является промежуток . Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых x и тем более при любых x.

, , тогда Таким образом, имеет место разложение при :

(1)
                                     

 

 

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных