ЗАДАНИЯ К контрольнОЙ работЕ № 6. В задачах 1-15 вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной указанной кривой

Задача № 1.

В задачах 1-15 вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной указанной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр положителен.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11.

12.

13.

14.

15.

В задачах 16-30 вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты.

16. 17.

18. 19.

20.

21.

22. . 23.

24. 25.

26. 27.

28. 29.

30.

Задание №2.

В задачах 1-20 вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Изобразить на чертеже данное тело и область интегрирования.

1.

2.

3.

4.

5.

6. , .

7. .

8. .

9. .

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание № 3

1. Найти момент инерции однородного шара массы относительно оси .

2. Найти массу пирамиды с вершинами в точках (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1), если плотность в точке (x, y, z) равна (x+y+z)^-3.

3. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного конусом и плоскостью .

4. Найти момент инерции однородной прямой треугольной призмы массы относительно ее бокового ребра, если все ребра равны .

5. Найти массу пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью , если плотность в каждой ее точке равна абсциссе этой точки.

6. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидами и плоскостью .

7. Найти массу тела, ограниченного плоскостью , цилиндром и конусом , если плотность в каждой его точке численно равна расстоянию от этой точки до оси .

8. Найти момент инерции относительно оси , ограниченной координатными плоскостями и плоскостью , если в каждой ее точке плотность численно равна аппликате этой точки.

9. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом и плоскостью .

10. Найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью , если плотность в каждой его точке численно равна произведению координат этой точки.

11. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями , 2y-z=0, z=0.

12. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x-y-z=3, x-4=0, y=0, z=0.

13. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x²+y-4=0, y-2z=0, z=0.

14. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x-y+z=0, y-4=0, x=0, z=0.

15. Найти момент инерции относительно оси OZ однородного тела, ограниченного поверхности x+y-1=0, x-y-1=0, x=0, z=0, z-2=0.

16. Найти момент инерции относительно оси OZ однородного тела, ограниченного поверхности x+y=0, x-y=0, x-1=0, z=0, z=3.

17. Найти момент инерции однородного прямого параллелепипеда массы М относительно его бокового ребра, если все его ребра равны а.

18. найти момент инерции однородного шара (x-1)²+y²+z²?4R² массы М относительно оси OX.

19. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x²+y-2=0, 3y-2z=0, z=0.

20. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

3y+z=0, x+y=0, x-2=0, z=0.

21 Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x²+y-1=0, y-2z=0, z=0.

21. Найти массу однородного тела, ограниченного поверхностями

x-3y=0, 2x-z=0, y-2=0, z=0.

22. Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом x²+y²=z и плоскостью z=3.

24. Найти центр тяжести четверти окружности , расположенный в первом квадранте, если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.

25. Найти центр тяжести однородной арки циклоида , .

26. Найти центр тяжести однородной пластинки, ограниченной параболой и осями координат.

27. Найти центр тяжести однородной дуги полуокружности , расположенный под осью OX.

28. Найти центр тяжести однородного полукруга , расположенного под осью OX.

29. Найти центр тяжести однородной фигуры, ограниченной дугой эллипса , и координатными осями, расположенными в I квадранте.

30. Найти центр тяжести однородные фигуры, ограниченные параболами и .

Задача № 4

В задачах 1-30 вычислить криволинейный интеграл.

1. , вдоль прямой линии от точки А(0;π) до точки В(π;0).

2. , вдоль прямой линии y= от точки (-1,1) до точки (2,2).

3. , вдоль линии y=lnx от точки (1,0) до точки (е,1).

4. , вдоль дуги циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost) от точки (2πа,0) до точки (4πа,0).

5. , вдоль гипоциклоиды x=a cos³t, y=a sin³t обходя ее против часовой стрелки.

6. , вдоль параболы y=x² от точки (-1,1) до точки (1,1).

7. , вдоль окружности , обходя ее против хода часовой стрелки.

8. , от точки А(1,2) до точки В(3,0) вдоль ломанной линии, состоящей из отрезков прямых x=1,y=5.

9. , вдоль треугольника А(-1,0),В(1,0), С(0,1), обходя его против хода часовой стрелки.

10. , вдоль кривой y=x² от точки (0,0) до точки (1,1)

11. , вдоль прямой АВ, А(2π,-2π); В(-2π,2π).

12. , вдоль прямой АВ, А(1,2), В(3,6)

13. , вдоль кубической параболы y=x³ от точки А(0,0) до точки В(1,1).

14. , вдоль ломанной АВС, А(1,2), В(3,2), С(3,5).

15. , от точки О(0,0,0) до точки В(-2,4,5).

16. , вдоль дуги окружности x=Rcost, y=Rsint, О(R,0), A(0,R).

17. , вдоль дуги параболы y²=x от точки О(0,0) до точки А(1,1)

18. , вдоль дуги параболы y²=4-4x от точки А(1,0) до точки В(0,2)

19. , вдоль дуги параболы y=x² от точки О(0,0) до точки В(1,1)

20. , вдоль дуги параболы y=x² от точки О(0,0) до точки В(1,1)

21. , вдоль дуги астроиды x=2cos³t, y=2sin³t от точки А(2,0) до точки В(0,2)

22. , вдоль дуги параболы y²=4x от точки А(0,0) до точки В(1,2)

23. , вдоль прямой АВ; А(1,0), В(0,2)

24. , вдоль дуги линии y=lnx от точки А(1,0) до точки В(e,1)

25. , вдоль дуги параболы y=x2/4, от точки О(0,0) до точки А(2,1)

26. , вдоль ломанной линии y= , от точки А(-1,1) до точки В(2,2)

27. , вдоль отрезка прямой, соединяющей точки О(0,0,0) и А(2,1,-1)

28. , вдоль ломанной АВС; А(2,0), В(5,0), С(5,3)

29. , вдоль дуги параболы y=2x², от точки О(0,0) до точки А(1,2)

30. , вдоль четверти дуги окружности x=Rcost, Y=Rsint, лежащей в первом квадрате и «пробегаемая» против хода часовой стрелки.

Задание № 5

В задачах 1-30 даны функция и вектор . Найти: а) б) ; в) г) .

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. ; .

5. ; .

6. ; .

7. ; .

8. ; .

9. ; .

10. ; .

11. u=xy+xz; F=(3z²+x)i+(e^x-2y)j+(2z-xy)k

12. u=xy²z; F=(4x-2y²)i+(lnz-4y)j+(x+

13. u=xyz³; F=(e^-z-x)i+(xz+3y)j+(z+x²)k

14. u=x-2yz; F=(6x-cosy)i+(e^x+z)j-(2y+3z)k.

15. u=x²yz²; F=(e^z+ i+(lnz- )j+ k.

16. u=x²yz³; F=xyi+yzj+xzk.

17. u=x²z-yz²; F=3x²yi-2x²yj+(2x-1)zk.

18. u=xy+x²z; F=(y²+xz)i+(xy-z)j+(yz+x)k.

19. u=y(x+z); F=(e^y+2x)i+(xz-y)j+ (e^xy-z)k.

20. u=y²x-z³x²; F=(x+y )i+(2xy+z)j+(z+sinx)k.

21. u=y²-z²-xz; F=(2xy²+zx)i+(e^xy-2xy)j-(ysinx)k.

22. u=xz+z³; F=( +e^-x)i+(x²y²-z²)j-(4xy+z)k.

23. u=y²x²-z²y; F=7xzi+(3x+2zy)j-e^x+yk.

24. u=x²-yz²; F=(6yz-cosx)i+(xe^y+z)j+(2xy-3yz)k.

25. u= xyz; F=(4y²z-e^x)i+(3z²+x)j-(2y+3xz)k.

26. u=x²y-y²z; F=(2xy+z)i+(z-sinxy)j+(ysinx)k.

27. u=xy³z; F=(3x+2yz)i+zxyj+(e^-x+e^x)k.

28. u=xyz²; F=(2x²y+x)i+(xy-z)j+(y²+xz)k.

29. u=uz²-x²; F=(xz-y)i+(yz+x)j+(e^y+2z)k.

30. u=xy²-z³; F=(3z²+xy)i+(e^x+2z)j+(4yz-x)k

.

III семестр

теоретические вопросы

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: