Поверхностные интегралы

Определение12. Множество называется поверхностью в , если для любой точки существует открытая окрестность, гомеоморфная замкнутому кругу в .

Напомним, что гомеоморфизм - биектив­ное отображение, непрерывное вместе с обратным к нему.

1. Определение 13. Поверхность S называется простой глад­кой поверхностью, если , где отображение r: - гомеоморфизм жордановой области D; ;

2. для всех точек ранг матрицы

равен двум в точке , т.е. в точках векторы и неколлинеарны.

Отображение называется параметрическим представлением поверхности S; переменные и и v — параметрами S; жорданово множество D — областью значения параметров и, v. Точки , будем называть внутренними, если они являются образами точек D. Точки , являющиеся образами границы \ ,, будем называть граничными точками S.

Определение 14. Поверхность S называется кусочно-гладкой, если она может быть представлена в виде объединения конечного числа простых гладких поверхностей, попарно пересекающихся, возможно, лишь их замыканиям, представляющим собой кусочно-гладкие кривые без самопересечений.

Пусть – определённая и непрерывная функция в точках некоторой гладкой поверхности . С помощью кусочно-гладких кривых, принадлежащих поверхности S, произведём разбиение этой поверхности на n элементарных площадок , площади которых обозначим , а диаметры – . На каждой площадке разбиения , выберем произвольную точку , вычислим и составим интегральную сумму

.

Определение 15. Предел последовательности интегральных сумм при стремлении даметра разбиения к 0 , называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности S и обозначается

.

Определение поверхностного интеграла первого рода переносит определение двойного интеграла Римана от непрерывной функции по плоской области, лежащей в , на гладкую поверхность S, лежащую в . Существование данного в определении 15 интеграла обеспечивается критерием Лебега.

Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами линейности, аддитивности, для них справедлива теорема о среднем, их величина не зависит от выбора стороны поверхности.

Геометрический смысл поверхностного интеграла. Если , то интеграл равен площади поверхности : .

Замечания.1). Величина площади поверхности определяется внутренней геометрией поверхности и не зависит от способа представления поверхности. Следовательно, величина площади поверхности не зависит от способа параметризации поверхности.

2). Площадь простой кусочно-гладкой поверхности определяется и вычисляется как сумма площадей простых гладких поверхностей, составляющих её.

3). Аналогично определяется и площадь простой гладкой поверхности, если она задаётся гомеоморфизмом, у которого условия гладкости не выполняются на множестве площади 0.

Механический смысл поверхностного интеграла состоит в том, что если функция – выражает поверхностную плотность поверхности S, то интеграл равен массе поверхности S:

.

Если всякая прямая, параллельная, например, оси OZ, пересекает поверхность S лишь в одной точке, будем говорить, что проекция D поверхности S на плоскость OXY однозначна.

Пусть – непрерывная функция, – гладкая поверхность , где . Если проекция поверхности на плоскость XOY однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по формуле

, (28)

где – элемент площади поверхности, т.е.

. (29)

Пусть в области плоскости XOY задана непрерывная функция , имеющая непрерывные частные производные. Поверхность, определяемая такой функцией, будет гладкой. Обозначим -область, являющуюся проекцией рассматриваемой поверхности на плоскость XOY. Площадь поверхности , вычисляется по формуле

. (30)

В случае, когда гладкая поверхность задана функцией на жордановом множестве (или функцией на жордановом множестве ), площадь такой поверхности вычисляется по аналогичной формуле, в которой под знаком радикала стоят частные

Пример 16. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

, где W - поверхность цилиндра , заключённая между плоскостями z = 0 и z = h.

Решение. Здесь для всей поверхности W нельзя выразить одну из координат однозначной функцией от других координат. Части цилиндрической поверхности, расположенные по разные стороны от вертикальных координатных плоскостей (рис.6), имеют различные

Рис.6

явные уравнения: часть , расположенная слева от плоскости xOz,

имеет уравнение , а часть , расположенная справа от

этой плоскости, имеет уравнение .Поэтому вычисляем

данный интеграл К по поверхности W как сумму интегралов и по составляющим её частям и .Преобразуя поверхностные интегралы и в двойные интегралы с переменными x и z, получим:

, , .

Следовательно,

,

так как прямоугольник ABCD есть общая проекция поверхностей и на плоскость xOz.

Вычисляя полученный двойной интеграл, найдём:

Вопросы для самопроверки

По какой формуле можно вычислить площадь простой гладкой поверхности , заданной уравнением , ? ? ? Какова формула вычисления поверхностного интеграла первого рода по такой поверхности от функции , ?

Задание 14

Вычислить поверхностные интегралы первого рода

№	Интеграл	Область S
		часть поверхности (конус) между плоскостями и
		часть плоскости , заключенная в первом октанте
		часть плоскости , расположенная в первом октанте
		полусфера
		часть плоскости , расположенная в первом октанте
		поверхность цилиндра , заключенная между плоскостями и
		боковая поверхность конуса
		конечная часть поверхности , отсеченная плоскостью
		часть плоскости , расположенная во втором октанте
		часть поверхности конуса , отсекаемая цилиндром
		поверхность, отсекаемая от параболоида плоскостью
		поверхность конуса
		поверхность куба , ,
		полная поверхность цилиндра ,
		часть плоскости , расположенная в первом октанте
		поверхность октаэдра
		поверхность тела, ограниченного плоскостью , полусферой и конусом ,
		часть цилиндра , лежащая между конусом и параболоидом
		часть цилиндра , , лежащая между плоскостями ,
		поверхность тела, образованного пересечением цилиндров ,

Поверхностные интегралы второго рода рассматриваются только по ориетированным поверхностям.

Напомним, что такое ориентация кусочно-гладкой поверхности в . Пусть — простая гладкая поверхность, т. е.

,

где область жорданова, гомеоморфизм

.

В каждой точке гладкой поверхности можно построить вектор нормали . Тем самым вводится вектор-функция , которую называют векторным полем нормальных векторов к S. Тогда векторное поле будет непрерывным полем единичных нормальных векторов к S.

Определение 16. Гладкая (т. е. имеющая в каждой точке ка­сательную плоскость) поверхность называется ориентируе­мой или двусторонней, если на ней можно задать непрерывное поле единичных нормальных векторов. Такое поле назы­вают ориентирующим полем нормалей S.

Как следует из вышесказанного, простая гладкая поверхность ориентируема. [1,с.222]

Определение 17. Ориентированной по­верхностью называется ориентируемая поверхность с выбранным ориентирующим полем нормалей. Можно сказать, что выбор направления нормали определяет сторону поверхности. Поэтому ориентацию поверхно­сти часто называют выбором стороны поверхности — отсюда тер­мин «двусторонняя поверхность». Двухсторонние поверхности характеризуются следующим свойством: если основание вектора нормали непрерывно перемещать по любому замкнутому контуру L, лежащему на такой поверхности, то при возвращении в исходную точку направление совпадет с исходным. Примерами двухсторонних поверхностей являются плоскости, все поверхности второго порядка, тор и многие другие.

Сторону гладкой поверхности S, из каждой точки которой восставлен вектор нормали n, будем называть положительной, а другую ее сторону (если она существует) – отрицательной. Если, в частности, поверхность S является замкнутой и ограничивает некоторое жорданово множество D, то положительной или внешней стороной поверхности называют ту ее сторону, нормальные векторы к которой направлены от множества D, а отрицательной или внутренней – сторона, нормальные векторы которой направлены в множество D. Например, на сфере можно за­дать непрерывное поле внешних — направленных от центра — нормальных векторов или сказать, что задана внешняя сторона сферы; если же задать поле внутренних — направленных к цен­тру— нормальных векторов, то можно сказать, что задана внут­ренняя сторона сферы.

Если же на поверхности найдётся замкнутый контур, при непрерывном перемещении вдоль которого вектор нормали, возвращаясь в исходную точку, изменяет своё первоначальное направление на противоположное, то такую поверхность называют односторонней. Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали при возвращении в исходную точку приводит к «антинормали», т.е. к вектору . Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса.

Если поверхность S задана уравнением , то нормальный вектор , образующий с положительным направлением оси OZ острый угол , определяется следующим образом:

,

а координаты единичного вектора нормали равныего направляющим косинусам, т.е.

, .

Если поверхность S задана уравнением , то

,

где знак «+» берется в случае, когда угол – острый, а знак «–» в случае, когда – тупой [2].

Пусть в области определена векторная функция , где , , – функции, непрерывные на жордановом множестве V. Далее, пусть S – некоторая гладкая поверхность, принадлежащая V, – сторона гладкой поверхности , характеризуемая направлением нормали . Тогда поверхностный интеграл 2 рода выражается формулой:

(31)

Таким образом, по определению

,

т.е. поверхностный интеграл 2-го рода есть поверхностный интеграл 1-го рода от скалярного произведения вектор-функции на единичный вектор нормали к выбранной стороне повеохности.

Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами линейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на противоположную, т.е. при замене на – , интеграл (31) изменяет знак.

Так как

, , ,

то интеграл (31) можно записать и в виде

. (32)

Если поверхность S задается функцией , - жорданово множество в , то справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла (31) к вычислению двойного интеграла:

, (33)

где область является проекцией поверхности S на плоскость XOY

.

При вычислении двойного интеграла, стоящего в правой части формулы (28) переменную z следует заменить на .

Приведем еще две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного интеграла второго рода:

, (34)

где области и – соответственно проекции поверхности S на плоскости OZY и OXZ; поверхность S задается соответственно функциями и . В двойном интеграле по области следует в подынтегральном выражении заменить х функцией , и принять

,

а в двойном интеграле по – заменить функцией и положить

.

Отметим, что в выражениях для n знак «+» или «–» выбирается в зависимости от того, острый или тупой угол .

1) Какова формула вычисления поверхностного интеграла второго рода по выбранной стороне двусторонней поверхности ?

2) Какой тип поверхностных интегралов зависит от выбора стороны поверхности ? От чего зависит знак перед интегралом по выбираемой стороне поверхности?

Пример 17.

Задание 15

Вычислить поверхностные интегралы второго рода через полную поверхность тетраэдра , образованного плоскостью и координатными плоскостями в направлении внешней нормали к его поверхности:

№	Вычислить интеграл	Плоскость
		где – внешняя сторона полной поверхности конуса ,
		где – внешняя сторона поверхности в первом октанте, образованной цилиндром и плоскостями , , ,
		где – внутренняя сторона полусферы , вырезанной конусом
		где – верхняя сторона поверхности , отсеченной плоскостями ,
		где – внутренняя сторона части поверхности , отсеченной плоскостью
		где – внешняя сторона поверхности куба , ,
		где – внешняя сторона части сферы в первом октанте

Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса

Если функции , , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замыкании жорданова множества пространства , а – внешняя сторона кусочно-гладкой замкнутой поверхности, ограничивающей это множество, то справедлива формула Остроградского-Гаусса:

(35)

или в другом виде

,

где – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

Если контур L лежит на поверхности S, то назовем часть S, ограниченную L, поверхностью, натянутой на контур L. Если по­верхность S ориентируема и контур L ориентирован, то ориента­цию S, при которой заданный обход контура L положителен, на­зовем согласованной с ориентацией L.

' Теорема (формула Стокса). Пусть область ; функции Р, Q, R ; - ориентированный контур и S — натянутая на L ориентированная поверхность, ориентация кото­рой согласована с ориентацией L. Тогда

(36)

На практике поверхностный интеграл второго рода, стоящий справа, часто переводят в поверхностный интеграл, первого рода и пользуются формулой Стокса в виде

,

где — направляющие косинусы вектора норма­ли к S, характеризующего ориентацию S.

Замечание. Естественная область применения формул Грина и Остроград­ского- Гаусса — это интегралы второго рода по замкнутым кон­турам на плоскости и замкнутым поверхностям в пространстве. Но иногда, особенно в пространстве, вычисления упрощаются, если замкнуть незамкнутую поверхность или кривую и считать данный интеграл как разность преобразованного интеграла по замкнутой поверхности или кривой и соответствующего интегра­ла по замыкающему множеству. В качестве такого множества обычно берутся отрезки прямых или части плоскостей, парал­лельных координатным, поскольку по таким множествам инте­грал второго рода вычисляется наиболее просто.

Пример 18. По формуле Остроградского – Гаусса вычислить поверхностный интеграл ,

где σ – полная поверхность цилиндра (см. рис.6).

Решение. Путём сопоставления данного интеграла с левой частью формулы (35), определяем: P = 4x ³, Q = 4y³, . Затем находим производные: , , , подставляем их в правую часть формулы (35) и таким образом вместо данного поверхностного интеграла по замкнутой поверхности σ получим тройной интеграл по области G, ограниченной поверхностью:

Интегрируя cначала по z, затем перейдём к полярным координатам:

Пример 19. Вычислить криволинейный интеграл , пользуясь формулой Стокса,

где L – замкнутая линия OCBAO (рис.7) пересечения поверхностей , х = 0, х = 2, у = 0, у = 1.

Решение.

Сопоставляя К с Формулой (36), определяем:

.

Находим производные:

, , , , .

Подставляя их в формулу Стокса, получим

Здесь σ может быть любая (гладкая или кусочно-гладкая) поверхность, «натянутая» на данный контур L. Пользуясь этим, выберем в качестве σ часть данной

конической поверхности ,

ограниченную контуром L. Тогда,

интегрируя по нижней стороне

указанной поверхности, на которой

заданный обход контура L на-

правлен против часовой стрелки, найдём:

( - прямоугольник ). Рис.7

Задание 16

Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы по контуру .

№	Вычислить интеграл	Контур	Ориентация положительна относительно вектора

С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить интегралы:

№	Вычислить интеграл
		– внешняя сторона поверхности пирамиды , , ,
		– внешняя сторона полной поверхности конуса ,
		– внутренняя сторона эллипсоида
		– внутренняя сторона поверхности параллелепипеда , ,
		– внешняя сторона полной поверхности , (конус)
		– внутренняя сторона сферы
		– сфера
		– внешняя сторона полной поверхности полушара ,

Элементы векторного анализа

Пусть – жорданово множество в трехмерном пространстве. Скалярным полем на называют числовую функцию , заданную в точках . Векторным полем на называют векторную функцию a (M), заданную в точках :

a (M)= P(x,y,z) i+ Q(x,y,z) j +R(x,y,z) k, M=(x,y,z).

В заданной системе декартовых координат обе функции становятся функциями координат точек , a .

Определение 17. Градиентом дифференцируемого на скалярного поля в точке называют вектор, обозначаемый grad Uи задаваемый формулой

grad

где производные поля вычислены в точке . Значение

grad не зависит от выбора декартовой системы координат, т.е. вектор-функция grad U является векторным полем на .

Физический смысл градиента. Вектор к каждой точке скалярного поля ортогонален поверхности уровня этого поля и указывает направление наиболее быстрого роста функции , а его величина дает скорость этого роста.

Определение 18. Дивергенцией или расходимостью дифференцируемого на векторного поля в точке называют число, обозначаемое и задаваемое в декартовой системе координат формулой

.

Значения числовой функции в точках не зависят от выбора декартовой системы координат, т.е. – скалярное поле на .

Определение 19. Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

Операторы называются основными операторами теории поля.

В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами широко используется символический векторный дифференциальный оператор набла (оператор Гамильтона)

.

Правила работы с оператором такие же, как и с обычными векторами.

Выразим операторы поля через оператор . Вычисляя произведение вектора на скалярную функцию , скалярное и векторное произведения вектора на ветор , получим формулы

Пример. Для вектора найти и .

Решение. ,

,

Для потенциального векторного поля всегда найдется такая скалярная функция (потенциал векторного поля ), что .

Потенциал векторного поля можно найти по формуле

,

где – произвольная точка поля, в которой функции определены..

Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля и

т.е. поле является соленоидальным и потенциальным.

Потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа

Вопросы для самопроверки.

1. Какие основные операторы теории поля определяются в этом параграфе? Дайте им определения.

2. Какие из приведенных выше операторов теории поля являются векторными, а какие скалярными величинами?

Задание 17

Пусть заданы функции и , и – дифференцируемые функции. Найти:

a) b)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: