ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Поверхностные интегралыОпределение12. Множество называется поверхностью в , если для любой точки существует открытая окрестность, гомеоморфная замкнутому кругу в . Напомним, что гомеоморфизм - биективное отображение, непрерывное вместе с обратным к нему. 1. Определение 13. Поверхность S называется простой гладкой поверхностью, если , где отображение r: - гомеоморфизм жордановой области D; ; 2. для всех точек ранг матрицы
равен двум в точке , т.е. в точках векторы и неколлинеарны. Отображение называется параметрическим представлением поверхности S; переменные и и v — параметрами S; жорданово множество D — областью значения параметров и, v. Точки , будем называть внутренними, если они являются образами точек D. Точки , являющиеся образами границы \ ,, будем называть граничными точками S. Определение 14. Поверхность S называется кусочно-гладкой, если она может быть представлена в виде объединения конечного числа простых гладких поверхностей, попарно пересекающихся, возможно, лишь их замыканиям, представляющим собой кусочно-гладкие кривые без самопересечений. Пусть – определённая и непрерывная функция в точках некоторой гладкой поверхности . С помощью кусочно-гладких кривых, принадлежащих поверхности S, произведём разбиение этой поверхности на n элементарных площадок , площади которых обозначим , а диаметры – . На каждой площадке разбиения , выберем произвольную точку , вычислим и составим интегральную сумму . Определение 15. Предел последовательности интегральных сумм при стремлении даметра разбиения к 0 , называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности S и обозначается . Определение поверхностного интеграла первого рода переносит определение двойного интеграла Римана от непрерывной функции по плоской области, лежащей в , на гладкую поверхность S, лежащую в . Существование данного в определении 15 интеграла обеспечивается критерием Лебега. Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами линейности, аддитивности, для них справедлива теорема о среднем, их величина не зависит от выбора стороны поверхности. Геометрический смысл поверхностного интеграла. Если , то интеграл равен площади поверхности : . Замечания.1). Величина площади поверхности определяется внутренней геометрией поверхности и не зависит от способа представления поверхности. Следовательно, величина площади поверхности не зависит от способа параметризации поверхности. 2). Площадь простой кусочно-гладкой поверхности определяется и вычисляется как сумма площадей простых гладких поверхностей, составляющих её. 3). Аналогично определяется и площадь простой гладкой поверхности, если она задаётся гомеоморфизмом, у которого условия гладкости не выполняются на множестве площади 0. Механический смысл поверхностного интеграла состоит в том, что если функция – выражает поверхностную плотность поверхности S, то интеграл равен массе поверхности S: . Если всякая прямая, параллельная, например, оси OZ, пересекает поверхность S лишь в одной точке, будем говорить, что проекция D поверхности S на плоскость OXY однозначна. Пусть – непрерывная функция, – гладкая поверхность , где . Если проекция поверхности на плоскость XOY однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл 1 рода вычисляется по формуле , (28) где – элемент площади поверхности, т.е. . (29) Пусть в области плоскости XOY задана непрерывная функция , имеющая непрерывные частные производные. Поверхность, определяемая такой функцией, будет гладкой. Обозначим -область, являющуюся проекцией рассматриваемой поверхности на плоскость XOY. Площадь поверхности , вычисляется по формуле . (30) В случае, когда гладкая поверхность задана функцией на жордановом множестве (или функцией на жордановом множестве ), площадь такой поверхности вычисляется по аналогичной формуле, в которой под знаком радикала стоят частные Пример 16. Вычислить поверхностный интеграл первого рода , где W - поверхность цилиндра , заключённая между плоскостями z = 0 и z = h. Решение. Здесь для всей поверхности W нельзя выразить одну из координат однозначной функцией от других координат. Части цилиндрической поверхности, расположенные по разные стороны от вертикальных координатных плоскостей (рис.6), имеют различные
Рис.6 явные уравнения: часть , расположенная слева от плоскости xOz, имеет уравнение , а часть , расположенная справа от этой плоскости, имеет уравнение .Поэтому вычисляем данный интеграл К по поверхности W как сумму интегралов и по составляющим её частям и .Преобразуя поверхностные интегралы и в двойные интегралы с переменными x и z, получим: , , .
Следовательно, ,
так как прямоугольник ABCD есть общая проекция поверхностей и на плоскость xOz. Вычисляя полученный двойной интеграл, найдём:
Вопросы для самопроверки По какой формуле можно вычислить площадь простой гладкой поверхности , заданной уравнением , ? ? ? Какова формула вычисления поверхностного интеграла первого рода по такой поверхности от функции , ? Задание 14 Вычислить поверхностные интегралы первого рода
Поверхностные интегралы второго рода рассматриваются только по ориетированным поверхностям. Напомним, что такое ориентация кусочно-гладкой поверхности в . Пусть — простая гладкая поверхность, т. е. , где область жорданова, гомеоморфизм . В каждой точке гладкой поверхности можно построить вектор нормали . Тем самым вводится вектор-функция , которую называют векторным полем нормальных векторов к S. Тогда векторное поле будет непрерывным полем единичных нормальных векторов к S. Определение 16. Гладкая (т. е. имеющая в каждой точке касательную плоскость) поверхность называется ориентируемой или двусторонней, если на ней можно задать непрерывное поле единичных нормальных векторов. Такое поле называют ориентирующим полем нормалей S. Как следует из вышесказанного, простая гладкая поверхность ориентируема. [1,с.222] Определение 17. Ориентированной поверхностью называется ориентируемая поверхность с выбранным ориентирующим полем нормалей. Можно сказать, что выбор направления нормали определяет сторону поверхности. Поэтому ориентацию поверхности часто называют выбором стороны поверхности — отсюда термин «двусторонняя поверхность». Двухсторонние поверхности характеризуются следующим свойством: если основание вектора нормали непрерывно перемещать по любому замкнутому контуру L, лежащему на такой поверхности, то при возвращении в исходную точку направление совпадет с исходным. Примерами двухсторонних поверхностей являются плоскости, все поверхности второго порядка, тор и многие другие. Сторону гладкой поверхности S, из каждой точки которой восставлен вектор нормали n, будем называть положительной, а другую ее сторону (если она существует) – отрицательной. Если, в частности, поверхность S является замкнутой и ограничивает некоторое жорданово множество D, то положительной или внешней стороной поверхности называют ту ее сторону, нормальные векторы к которой направлены от множества D, а отрицательной или внутренней – сторона, нормальные векторы которой направлены в множество D. Например, на сфере можно задать непрерывное поле внешних — направленных от центра — нормальных векторов или сказать, что задана внешняя сторона сферы; если же задать поле внутренних — направленных к центру— нормальных векторов, то можно сказать, что задана внутренняя сторона сферы. Если же на поверхности найдётся замкнутый контур, при непрерывном перемещении вдоль которого вектор нормали, возвращаясь в исходную точку, изменяет своё первоначальное направление на противоположное, то такую поверхность называют односторонней. Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали при возвращении в исходную точку приводит к «антинормали», т.е. к вектору . Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса. Если поверхность S задана уравнением , то нормальный вектор , образующий с положительным направлением оси OZ острый угол , определяется следующим образом: , а координаты единичного вектора нормали равныего направляющим косинусам, т.е. , .
Если поверхность S задана уравнением , то , где знак «+» берется в случае, когда угол – острый, а знак «–» в случае, когда – тупой [2]. Пусть в области определена векторная функция , где , , – функции, непрерывные на жордановом множестве V. Далее, пусть S – некоторая гладкая поверхность, принадлежащая V, – сторона гладкой поверхности , характеризуемая направлением нормали . Тогда поверхностный интеграл 2 рода выражается формулой: (31) Таким образом, по определению , т.е. поверхностный интеграл 2-го рода есть поверхностный интеграл 1-го рода от скалярного произведения вектор-функции на единичный вектор нормали к выбранной стороне повеохности. Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами линейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на противоположную, т.е. при замене на – , интеграл (31) изменяет знак. Так как , , , то интеграл (31) можно записать и в виде . (32) Если поверхность S задается функцией , - жорданово множество в , то справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла (31) к вычислению двойного интеграла: , (33) где область является проекцией поверхности S на плоскость XOY . При вычислении двойного интеграла, стоящего в правой части формулы (28) переменную z следует заменить на . Приведем еще две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного интеграла второго рода: , (34) где области и – соответственно проекции поверхности S на плоскости OZY и OXZ; поверхность S задается соответственно функциями и . В двойном интеграле по области следует в подынтегральном выражении заменить х функцией , и принять , а в двойном интеграле по – заменить функцией и положить . Отметим, что в выражениях для n знак «+» или «–» выбирается в зависимости от того, острый или тупой угол . 1) Какова формула вычисления поверхностного интеграла второго рода по выбранной стороне двусторонней поверхности ? 2) Какой тип поверхностных интегралов зависит от выбора стороны поверхности ? От чего зависит знак перед интегралом по выбираемой стороне поверхности? Пример 17.
Задание 15 Вычислить поверхностные интегралы второго рода через полную поверхность тетраэдра , образованного плоскостью и координатными плоскостями в направлении внешней нормали к его поверхности:
Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса Если функции , , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замыкании жорданова множества пространства , а – внешняя сторона кусочно-гладкой замкнутой поверхности, ограничивающей это множество, то справедлива формула Остроградского-Гаусса: (35) или в другом виде , где – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Если контур L лежит на поверхности S, то назовем часть S, ограниченную L, поверхностью, натянутой на контур L. Если поверхность S ориентируема и контур L ориентирован, то ориентацию S, при которой заданный обход контура L положителен, назовем согласованной с ориентацией L. ' Теорема (формула Стокса). Пусть область ; функции Р, Q, R ; - ориентированный контур и S — натянутая на L ориентированная поверхность, ориентация которой согласована с ориентацией L. Тогда (36) На практике поверхностный интеграл второго рода, стоящий справа, часто переводят в поверхностный интеграл, первого рода и пользуются формулой Стокса в виде , где — направляющие косинусы вектора нормали к S, характеризующего ориентацию S. Замечание. Естественная область применения формул Грина и Остроградского- Гаусса — это интегралы второго рода по замкнутым контурам на плоскости и замкнутым поверхностям в пространстве. Но иногда, особенно в пространстве, вычисления упрощаются, если замкнуть незамкнутую поверхность или кривую и считать данный интеграл как разность преобразованного интеграла по замкнутой поверхности или кривой и соответствующего интеграла по замыкающему множеству. В качестве такого множества обычно берутся отрезки прямых или части плоскостей, параллельных координатным, поскольку по таким множествам интеграл второго рода вычисляется наиболее просто. Пример 18. По формуле Остроградского – Гаусса вычислить поверхностный интеграл , где σ – полная поверхность цилиндра (см. рис.6). Решение. Путём сопоставления данного интеграла с левой частью формулы (35), определяем: P = 4x ³, Q = 4y³, . Затем находим производные: , , , подставляем их в правую часть формулы (35) и таким образом вместо данного поверхностного интеграла по замкнутой поверхности σ получим тройной интеграл по области G, ограниченной поверхностью: Интегрируя cначала по z, затем перейдём к полярным координатам: Пример 19. Вычислить криволинейный интеграл , пользуясь формулой Стокса, где L – замкнутая линия OCBAO (рис.7) пересечения поверхностей , х = 0, х = 2, у = 0, у = 1.
Решение. Сопоставляя К с Формулой (36), определяем: . Находим производные: , , , , . Подставляя их в формулу Стокса, получим Здесь σ может быть любая (гладкая или кусочно-гладкая) поверхность, «натянутая» на данный контур L. Пользуясь этим, выберем в качестве σ часть данной конической поверхности , ограниченную контуром L. Тогда, интегрируя по нижней стороне указанной поверхности, на которой заданный обход контура L на- правлен против часовой стрелки, найдём: ( - прямоугольник ). Рис.7
Задание 16 Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы по контуру .
С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить интегралы:
Элементы векторного анализа Пусть – жорданово множество в трехмерном пространстве. Скалярным полем на называют числовую функцию , заданную в точках . Векторным полем на называют векторную функцию a (M), заданную в точках : a (M)= P(x,y,z) i+ Q(x,y,z) j +R(x,y,z) k, M=(x,y,z). В заданной системе декартовых координат обе функции становятся функциями координат точек , a . Определение 17. Градиентом дифференцируемого на скалярного поля в точке называют вектор, обозначаемый grad Uи задаваемый формулой grad где производные поля вычислены в точке . Значение grad не зависит от выбора декартовой системы координат, т.е. вектор-функция grad U является векторным полем на . Физический смысл градиента. Вектор к каждой точке скалярного поля ортогонален поверхности уровня этого поля и указывает направление наиболее быстрого роста функции , а его величина дает скорость этого роста.
Определение 18. Дивергенцией или расходимостью дифференцируемого на векторного поля в точке называют число, обозначаемое и задаваемое в декартовой системе координат формулой . Значения числовой функции в точках не зависят от выбора декартовой системы координат, т.е. – скалярное поле на . Определение 19. Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения Операторы называются основными операторами теории поля. В математической и особенно физической литературе наряду с введенными операторами широко используется символический векторный дифференциальный оператор набла (оператор Гамильтона) . Правила работы с оператором такие же, как и с обычными векторами. Выразим операторы поля через оператор . Вычисляя произведение вектора на скалярную функцию , скалярное и векторное произведения вектора на ветор , получим формулы
Пример. Для вектора найти и . Решение. , ,
Для потенциального векторного поля всегда найдется такая скалярная функция (потенциал векторного поля ), что . Потенциал векторного поля можно найти по формуле , где – произвольная точка поля, в которой функции определены.. Векторное поле называется гармоническим, если во всех точках поля и т.е. поле является соленоидальным и потенциальным. Потенциал гармонического поля удовлетворяет уравнению Лапласа Вопросы для самопроверки. 1. Какие основные операторы теории поля определяются в этом параграфе? Дайте им определения. 2. Какие из приведенных выше операторов теории поля являются векторными, а какие скалярными величинами?
Задание 17 Пусть заданы функции и , и – дифференцируемые функции. Найти: a) b) Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|