Условная вероятность. Независимость событий

Если Р (А) > 0, то условной вероятностью случайного события В при условии, что случайное событие А наступило, называется отношение и обозначается Р (В ï А).

Из формулы Р (В ï А) = получается формула

Р (А × В) = Р (А)× Р (В ï А),

которая называется формулой умножения вероятностей. Формулу умножения вероятностей можно записать для большого числа случайных событий, например, для трёх:

Р (А × В × С) = Р (А×В) Р (С ï А×В) = Р (А) Р (В ï А) Р (С ï А × В).

Пример. В ящике 8 окрашенных деталей и две неокрашенные. Найти вероятность того, что три наугад взятые детали будут окрашенными.

Решение. Рассмотрим случайные события:

А = {три взятые детали окрашенные},

А₁ = {первая взятая деталь окрашенная},

А₂ = {вторая взятая деталь окрашенная},

А₃ = {третья взятая деталь окрашенная}.

Поскольку А = А₁×А₂×А₃, то Р (А) можно вычислить, используя формулу умножения вероятностей:

Р (А) = Р (А ₁) Р (А ₂ï А ₁)Р(А ₃ï А ₁× А ₂).

По условию детали берут наугад, поэтому для вычисления вероятностей в правой части формулы можно использовать классическое определение вероятности: ; после того, как взяли одну окрашенную деталь, в ящике осталось 9 деталей, из которых 7 деталей окрашенные. Значит, Р (А ₂ï А ₁) = и, аналогично рассуждая, получим, что Р (А ₃ï А ₂) = .

Следовательно, искомая вероятность

.

Ответ: .

Случайные события А и В называются независимыми, если Р (А × В) = Р (А) Р (В).

Случайные события А ₁, А ₂, …, А_n называются независимыми, если для любого набора событий , 1 £ i ₁ < …< i_k £ n, 2 £ k £ n, вероятность произведения этих событий равна произведению вероятностей этих событий. Из этого определения следует, что вероятность произведения любого числа независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример. Стрелки стреляют по одному разу в мишень. Вероятности попадания в мишень у первого, второго и третьего стрелка соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что будет только два попадания в мишень.

Решение. Рассмотрим случайные события:

А = {только два попадания в мишень},

А_i = { i- ый стрелок попал в мишень},

B_i = {промахнулся только i -ый стрелок},

i = 1, 2, 3.

_.

Случайные события , А ₂, А ₃ являются независимыми, так как связаны с независимыми случайными экспериментами, поэтому Р ( × А ₂× А ₃) = = Р () Р (А ₂) Р (А ₃). Аналогично получим, что Р (А ₁× × А ₃) = Р (А ₁) Р () Р (А ₃) и Р (А₁×А₂× ) = Р (А ₁) Р (А ₂) Р ().

Поскольку сумма вероятностей противоположных случайных событий равна 1, то Р () = 0,3; Р () = 0,2 и Р () = 0,1. Следовательно,

Р (А) = 0,3 × 0,8 × 0,9 + 0,7 × 0,2 × 0,9 + 0,7 × 0,8 × 0,1 = 0,378.

Ответ: 0,378.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: