По пространственной кривой

Пусть задано векторное поле

.

Криволинейный интеграл по пространственной кривой

сводится к определенному интегралу, если в уравнениях кривой две координаты выразить через третью, например,

и результат подставить в криволинейный интеграл.

– пределы интегрирования в определенном интеграле.

Вводятся следующие понятия.

Оператор Гамильтона – символический вектор (набла):

;

дивергенция вектора – функция

;

ротор вектора – векторное произведение векторов и :

.

Если , то поле называется соленоидальным, если – потенциальным.

Потенциал векторного поля

Если , то поле является потенциальным, т.е. существует потенциал вектора – функция , удовлетворяющая условию

,

т.е.

.

Чтобы найти потенциал , нужно вычислить криволинейный интеграл

по любой линии, соединяющей точки и в окончательном ответе заменить малыми буквами .

В качестве линии интегрирования удобно взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат, а за точку выбрать начало координат , если поле определено в этой точке.

Запишем уравнения звеньев ломаной и найдем дифференциалы функций, полученных из уравнений звеньев.

Пример. Показать, что векторное поле

является потенциальным и найти его потенциал .

.

.

.

.

.

.

В функцию можно добавить произвольную постоянную .

Проверка:

.

.

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: