Область сходимости степенного ряда

Областью сходимости степенного ряда

является интервал сходимости , включая, возможно, и концы этого интервала.

Радиус сходимости находится по формуле

.

Внутри интервала сходимости ряд абсолютно сходится, вне интервала – расходится (рис. 1).

На концах интервала, при и , ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

Если , то ряд сходится абсолютно при всех , т.е. на всей числовой прямой; при ряд сходится в единственной точке .

Если степенной ряд записан по степеням :

,

то внутри интервала сходимости надо заменить на :

, т.е. .

При значениях ряд надо исследовать на сходимость отдельно.

Пример. Найти область сходимости ряда

,

– коэффициент при :

, .

,

.

Исследуем ряд на сходимость на концах интервала:

: ряд расходится.

: ряд расходится.

Концы интервала в область сходимости не входят.

.

К задачам 361 − 370.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: