Признак сравнения рядов

Пусть даны два ряда с положительными членами, и члены первого ряда меньше соответствующих членов второго:

(1)

(2)

(3)

Тогда:

1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится,

2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) тоже расходится.

Итак, если члены данного ряда меньше членов сходящегося ряда, то данный ряд тоже сходится. Если члены данного ряда больше членов расходящегося ряда, то данный ряд тоже расходится.

Примеры. Исследовать ряд на сходимость.

1)

, функция является непрерывной, положительной и убывающей на . Применим интегральный признак Коши.

.

Несобственный интеграл сходится, следовательно, данный числовой ряд сходится.

2)

.

Используем признак Даламбера. В формуле для заменим на :

.

.

, ряд сходится.

3) (1)

Сравним ряд (1) с рядом

(2)

Мы показали, что ряд (2) сходится по интегральному признаку Коши. Члены ряда (1) меньше членов сходящегося ряда (2).

По признаку сравнения ряд (1) тоже сходится.

К задачам 341 − 350.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: