Контрольная работа №6

К задачам 281 – 290.

Для решения дифференциального уравнения 1-го порядка нужно сначала определить его тип, чтобы выбрать правильный метод решения. Разберем методы решения трех важнейших типов уравнений 1-го порядка.

1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида . Для нахождения общего решения нужно разделить переменные, то есть привести уравнение к виду и проинтегрировать это равенство:

.

Пример. Покажем, как решается уравнение . Заметим, что если в левой части уравнения оставить только , то правая часть уравнения раскладывается в произведение двух множителей, один из которых зависит только от , другой – только от : . Запишем как отношение дифференциалов , получим , откуда . Для разделения переменных делим обе части равенства на , считая, что : , откуда или .

Обозначим и потенцируем равенство:

,

,

,

.

Если , то и . Подставив в первоначальное уравнение, получим , то есть является решением нашего уравнения. Оно получится из равенства , если .

Значит, общее решение уравнения имеет вид , где – произвольная постоянная.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: