Нормалью к поверхности S в точке M0 называется прямая, проходящая через точку M0 и перпендикулярная касательной плоскости к поверхности S в точке M0 .

Из определения нормали следует, что нормальный вектор = (A;B;C)касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Следовательно, канонические уравнения нормали к поверхности S в точке M₀ будут иметь вид

.

Пример. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Запишем уравнение поверхности в виде . Тогда . Вычисляем частные производные от этой функции в точке :

, , ;

, , .

Искомое уравнение касательной плоскости запишется в виде или .

Нормаль перпендикулярна касательной плоскости. Следовательно, нормальный вектор =(−5;3;−1) касательной плоскости будет направляющим вектором нормали. Канонические уравнения нормали будут иметь вид

.

Ответ: – уравнение касательной плоскости,

– уравнения нормали.

К задачам 231 – 240.

Для нахождения экстремумов функции z = f (x,y) сначала нужно найти стационарные точки этой функции, в которых частные производные функции z = f (x,y) равны нулю. Для этого нужно решить систему уравнений:

(1)

Условие (1) является необходимым условием экстремума, но оно не является достаточным, т.е. в стационарной точке экстремума может и не быть.

Рассмотрим достаточное условие экстремума. Пусть точка M₀ – стационарная точка функции z=f (x,y), которая имеет непрерывные частные производные второго порядка на некоторой окрестности точки M₀,

и

– определитель второго порядка.

Если D>0, то экстремум в точке M₀ есть, при этом M₀ – точка минимума при A >0 и M₀ – точка максимума при A <0. Если D<0, то экстремума в точке M₀ нет.

При D=0 требуются дополнительные исследования функции в окрестности точки M₀, мы не будем рассматривать этот случай.

Пример. Найти экстремумы функции z = x ³ + y ³ – 6 xy.

Решение. Найдем стационарные точки данной функции. Для этого находим частные производные функции z = x ³ + y ³ – 6 xy, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений.

.

Получили две стационарные точки: М ₁(0; 0), М ₂(2; 2). Выясним, есть ли в этих точках экстремумы. Находим частные производные второго порядка.

.

1) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М₁:

.

Находим определитель :

.

Поскольку D < 0, то экстремума в точке М ₁ нет.

2) Вычислим значения частных производных второго порядка в точке М ₂.

.

Определитель .

Поскольку D > 0 и А > 0, то М ₂ – точка минимума.

z _min = z (2, 2) = 8 + 8 – 24 = − 8.

Ответ: z _min = z (2, 2) = − 8.

К задачам 241 − 250.

Градиентом функции в некоторой точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции:

.

Пусть из данной точки проведен луч , параллельный некоторому вектору . Производной функции по направлению этого луча называется скорость изменения функции в заданном направлении, то есть

.

Если луч образует с осями и углы и соответственно, то и являются координатами единичного вектора , параллельного , и производную по направлению можно вычислить по формуле

.

При этом, если направление определяется вектором , то и значит

.

Линия уровня функции z = f(x, y) – это линия, определяемая уравнением f(x, y) = С, где С Î R.

Пример. Дана функция и две точки и . Найти градиент функции в точке и производную в точке в направлении вектора .

Решение. Вычислим частные производные в точке :

;

.

Значит, .

Найдем направляющие косинусы:

;

.

Вычисляем по формуле производную в заданном направлении:

.

Ответ: ; .

К задачам 251 – 280.

Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

В операционном исчислении функции действительной переменной ставится в соответствие функция комплексной переменной .

Функция называется оригиналом, – изображением, что обоз-начают

или .

Соответствие, определяемое формулой

,

называется преобразованием Лапласа.

Рассмотрим некоторые свойства преобразования Лапласа.

1) Линейность:

,

.

Постоянный множитель сохраняется при нахождении изображения.

Изображение суммы равно сумме изображений.

2) Теорема смещения:

.

При умножении оригинала на показательную функцию в изображении надо из аргумента вычесть число .

3) Дифференцирование изображения:

.

При умножении оригинала f (t) на надо изображение продиффе-ренцировать и производную умножить на (-1).

4) Изображение производных:

,

,

.

Таблица изображений

,	,	,
,	,	,
,	,	.

Здесь , гиперболические функции

.

Примеры.

1. Найти изображение данного оригинала.

1) .

Использовали свойство линейности и формулы

.

2) .

3) , так как .

По теореме смещения в изображении функции из аргумента вычли , в изображении из вычли .

4) , так как .

По свойству дифференцирования изображения оригинал умножили на , а от изображения нашли производную и умножили на – 1.

2. Найти оригинал по заданному изображению.

1) .

Использованы формулы:

.

2) .

Если в изображении из вычесть , то по теореме смещения оригинал надо умножить на :

, .

3) .

4) .

5) .

6) .

Чтобы найти оригинал, соответствующий правильной рациональной дроби, надо представить ее в виде суммы простейших дробей, разложив знаменатель на множители.

7) .

Линейному множителю знаменателя соответствует простейшая дробь первого рода .

Находим числа . Для этого складываем дроби в правой части и приравниваем числители.

.

Придаем значения , обращающие одну из скобок в нуль:

.

8) .

Квадратному трехчлену с комплексными корнями знаменателя соответствует простейшая дробь 2-го рода, у которой числитель есть линейная функция с неизвестными коэффициентами.

.

Для нахождения приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р в левой части и в правой. При , при , при , при . Получим систему уравнений, решая которую, находим коэффициенты .

Подставляя найденные коэффициенты и используя таблицу изображений, находим оригинал для данного изображения:

.

9) .

Множителю соответствуют две простейшие дроби первого рода со знаменателями и .

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях р. При , при , при , при . Решая полученную систему, находим, что , , , . Используя таблицу изображений, получим, что

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: