Двойной интеграл в полярных координатах

При переходе к полярным координатам надо декартовы координаты выразить через полярные по формулам , и элемент площади заменить на (рис. 4).

Пусть область лежит между двумя лучами , , а изнутри угла и снаружи ограничена линиями и (рис. 5).

Тогда

.

Примеры. Вычислить площадь области, ограниченной данными линиями, с помощью двойного интеграла.

1)

Область ограничена сверху двумя линиями ( и ). Поэтому через точку А проведем вертикальную прямую и разобьем область на две области (рис. 6).

.

Заданная область изображена

на рис. 7.

.

Объём тела

Если функция z = f (x; y) непрерывна и неотрицательна на области D, то объём тела, ограниченного поверхностью, заданной функцией z = f (x, y), плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Oz и проходящими через граничные точки области D, равен двойному интегралу .

При нахождении объёма тела, ограниченного данными поверхностями, нужно найти проекцию этого тела на координатную плоскость Oxy, т.е. найти область D, затем найти функцию z = f (x, y) и вычислить двойной интеграл . Если область D – часть круга, то при вычислении двойного интеграла следует перейти к полярным координатам. Если тело ограничено сверху двумя поверхностями (см. пример 382), то его нужно разбить на две части так, чтобы каждая часть была ограничена сверху только одной поверхностью. Объём каждой части нужно вычислить с помощью двойного интеграла, а затем сложить результаты.

Пример. С помощью двойного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями , y = 0, z = 0 и x + y + z = 2.

Решение. Уравнения и y = 0 не содержат переменной z, они задают цилиндрические поверхности с образующими параллельными оси Oz. Плоскости z = 0 и x + y + z = 2 ограничивают данное тело соответственно снизу и сверху, пересекаются по прямой x + y = 2 в координатной плоскости Oxy. Значит, область D (проекция данного тела на координатную плоскость Oxy) будет ограничена линиями , y = 0 и x + y = 2.

x

Находим объём данного тела:

.

Ответ:0,85.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: