A. Бінарныя алгебрычныя аперацыі. Асацыятыўныя, камутатыўныя аперацыі; нейтральны элемент, сіметрычны элемент. Азначэнні, прыклады, ўласцівасці.

Азн.1: Няхай Х-непустое мноства.Будзем казаць, што на мностве Х вызначана бінарная алгебрычная аперацыя, калі кожнай спарадкаванай пары (a,b) элементаў мноства Х пастаўлены ў адпаведнасць адназначна вызначаны элемент з мноства Х.

Такім чынам, бінарная алгебрычная аперацыя на мностве Х – гэта f: Х Х Х.

Вобраз пары (а,b) f(а,b) будзем называць кампазіцыяй элементаў а,b і абазначаць а b.

Калі аперацыя на мностве называецца множаннем (складаннем), тады кампазіцыю а b будзем называць здабыткам (сумай) і абазначаць аb (а b).

Прыклады бінарных алгебрычных аперацыяў:

1) Складанне і множанне на мноствах: N, Z, Q, R, C, R[x], R_n*n

2) Адыманне на мноствах: Z, Q, R, C, R[x], R_n*n

3) Дзяленне на мноствах: Q^*= Q\{0}, R^*= R\{0}, C^*= C\{0}.

Азн.2: Будзем казаць, што элемент n Х з’яўляецца нейтральным у дачыненні да бінарнай алгебрычнай аперацыі , калі для кожнага а Х, а n= n а= a.

Прыклады:

1)Для мностваў Z, Q, R, C нейтральны элемент у дачынненні да аперацыі: складання - 0, множання – 1.

2) Для R[x] нейтральнымі элементамі у дачынненні да складання і множання будуць адпаведна нулявы паліном і паліном нулявой ступені, роўны 1.

3) Для R_n*n нейтральным элементам у дачынненні да складання і множання служаць нулявая і адзінкавая матрыцы.

Сцв.1: Для адвольнай бінарнай алгебрычнай аперацыі не больш за адзін нейтральны элемент.

Азн.3:Бінарная алгебрычная аперацыя на мностве Х наз. асацыятыўнай, калі для адвольнага a,b,c X, a (b c)=(a b) c.

Сцв.2: Калі бінарная алгебрычная аперацыя асацыятыўна, тады для адвольных натуральных n и i, 1 i n:

(a₁ a₂ a_i) (a_i+1 a_n) = a₁ a₂ a_n.

Азн.4:Няхай на мностве Х вызначана бінарная алгебрычная аперацыя ,якая мае нейтральны элемент n.Элемент а₁ Х наз сіметрычным да элементу а Х у дачыненні да аперацыі , калі a а₁=а₁ а=n.

Калі а₁ - сіметрычным да элементу а, тады а -сіметрычным да элементу а₁.

Сцв.3: Калі бінарная алгебрычная аперацыя на мностве Х асацыятыўна, тады для кожнага а Х існуе не больш за адзін сіметрычны элемент.

Калі аперацыя называецца множаннем, тады сіметрычны да а элемент называюць адваротным і абазначаюць а^-1, калі аперацыя называецца складаннем, тады сіметрычны да а элемент называюць супрацьлеглым і абазначаюць -а.

Азн.5: Бінарная алгебрычная аперацыя на мностве Х, наз. камутатыўнай, калі для адвольных элементаў a,b X:

a b=b a.

Прыклады:

1) Аперацыі “+” і “*” на мноствах Z, Q, R, C, R[x]– камутатыўныя.

2) На R_n*n “+” – камутатыўнае, а “*” для n>1 – некамутатыўнае.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: