Так, для определения размера очередного платежа (7) имеем

получаем следующее соотношение:

(7.12)

Можно также заметить, что для определения современных зна-
чений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i_c
проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренуме-
рандо. Поэтому каждая современная величина А_к будет больше в
(1 + /) раз. Таким образом,

(7.13)

А для коэффициента приведения af_n получаем

(7.14)

Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренуме-
рандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных зна-
чений S_n и A_n соответствующие значения 5 и А и пользоваться да-
лее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.

Для определения коэффициентов наращения и
приведения обыкновенного аннуитета существу-
ют таблицы, которыми удобно пользоваться в практиче-
ских вычислениях. Максимальные процентные ставки в та-
ких таблицах обычно не превышают 30—40%, что значи-

тельно ниже размера процентных ставок, применяемых в
России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в
данном случае — не число лет, а число периодов одинако-
вой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в ко-
торых принята данная процентная ставка. Таким образом,
если задана годовая процентная ставка, можно найти эк-
вивалентную ей ставку на более коротком интервале и
рассматривать далее п как число таких интервалов.

Если срок аннуитета п не ограничен, мы получаем случай веч-
ного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для на-
ращенной суммы и современной величины приобретут следую-
щий вид:

(7.15)

(7.16)
Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем

(7.17)

(7.18)

Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуите-
тов, естественно, сказывается на определении их современной
величины.

Не менее важен случай, когда последовательность платежей из-
меняется по некоторому закону, и, следовательно, также может
быть описана с помощью математических средств.

Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи по-
стоянно увеличиваются на определенную положительную вели-
чину А, т. е. являются членами арифметической прогрессии с пер-
вым членом A₁ = Ph разностью A. T. е. платежи представляют со-
бой ряд:

£/>+Л, />+2А,... Р+ (п- I)A.

Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее
выражение:

Умножим обе части данного равенства на (1 + /_с) и вычтем
первое выражение из полученного после умножения:

Видно, что часть полученного равенства представляет собой
сумму членов геометрической прогрессии, где A₁ = A(I + Q; q =
= (1 + Q. После несложных преобразований получаем:

(7.19)

Найдем теперь современное значение аннуитета А.

Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А,
здесь также можно применить формулу (7.6):

Теперь мы имеем возможность решить пример по определению
потока платежей произвольной величины.

В данном примере поток платежей в течение последних семи
лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5)
мы можем рассчитать его современную величину Aq. Нельзя за-
бывать, что это будет современная величина на момент начала
четвертого периода:

A₀ = 500 • 5,58 = 2791 (ам. долл.)
(коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложе-
ния 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные
значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся
платежей и величины A₀:

А\ = 500 -0,953 = 471,5 (ам. долл.);
А2 = 200 • 0,89 = 178 (ам. долл.);
Аъ = -400 • 0,840 = -336 (ам. долл.);
А4 = 2791 • 0,840 = 2344,44 (ам. долл.).
Складывая получившиеся величины, находим современную ве-
личину всего потока платежей:

А = A_x + A₂ + A₃ + A₄ = 2657,94 ам. долл.

Современная величина аннуитета

Во всех случаях, когда в произвольном потоке
платежей встречаются серии, которые могут быть
описаны как постоянные или изменяющиеся по некоторо-
му закону аннуитеты, следует обращать внимание на на-

чальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие
с начальным моментом и сроком полного потока платежей.

Следующий этап нашего изучения — конверсия аннуитетов.

Под конверсией аннуитета понимается такое изменение на-
чальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет
был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их со-
временные величины, приведенные к одному и тому же моменту
времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалент-
ного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий вы-
платы долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом кон-
версия может произойти как в момент начала аннуитета (на этот
момент и рассчитываются современные величины эквивалент-
ных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуите-
та. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга
в момент конверсии.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии по-
стоянных аннуитетов.

1. Через некоторый промежуток времени л₀ (он может быть ра-
вен и 0) после начала аннуитета весь остатрк долга может быть
выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом
случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной
величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока п\ = п- W₀-

2. Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолжен-
ность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуите-
та, и требуется определить один из параметров аннуитета при за-
данных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е.
современная величина аннуитета, для нахождения неизвестного
параметра используем формулы (7.8) или (7.10).

3. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении
прежней процентной ставки. Величину P₁ платежа для срока W₁
находим, используя уравнения эквивалентности (приравнивают-
ся современные значения аннуитетов):

Отсюда

Очевидно, что, если срок аннуитета увеличится, значение P со-
кратится, и наоборот.

4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа P дол-
жна быть изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный
случай на примере 28.