Некоторые дополнительные понятия

Определение 1.4. срезом (множеством уровня ) нечеткого множества , называется (четкое) множество такое, что

, .

Пример 1.5. Если 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.1/4, то , , .

Принцип обобщения [15] дает формальный аппарат для переноса операций (арифметических, алгебраических) с обычных множеств на нечеткие.

Пусть функция представляет собой отображение и есть нечеткое множество в . В соответствии с принципом обобщения, функция отображает нечеткое множество в нечеткое множество такое, что:

.

Пример 1.6. Пусть , и .

Если теперь 0.1/1 + 0.2/2 + 0.7/3 + 1/4, то 0.1/3 + 0.2/4 + 0.7/5 +1/6.

Нечеткие отношения

Пусть и .

Определение 1.5. Нечетким отношением называется нечеткое множество, определенное на декартовом произведении , которому соответствует функция принадлежности .

отражает силу зависимости между и .

Пример 1.7. Пусть { конь, осел } и { мул, корова }. Нечеткое отношение <подобный> может быть определено следующим образом:

<подобный> = 0.8/(конь, мул) + 0.4/(конь, корова) + 0.9/(осел, мул) + 0.5/(осел, корова),

т. е. конь похож на мула со степенью 0.8, конь похож на корову со степенью 0.4 и т.д.

Определение 1.6. Если и , то max-min композицией называется нечеткое множество , определенное на , функция принадлежности которого имеет вид:

Max-min композиция позволяет ответить на вопрос, какое нечеткое множество в следует поставить в соответствие нечеткому множеству , если известно, что нечеткое множество соответствует нечеткому множеству .

Операция нахождения такого соответствия называется нечетким логическим выводом и выполняется по следующей формуле:

,

где - нечеткое отношение:

,

- max-min композиция, в соответствии с которой:

,

, .

Нечеткие числа

Введенный принцип обобщения является служит для переноса четких отношений в нечеткие. Например, его можно применить для определения нечеткой арифметики.

Определение 1.7. Нечеткое число это нечеткое множество , определенное на множестве действительных чисел , если его функция принадлежности нормальна и выпукла, т. е.

,

.

Примеры нечетких чисел: <около 5>, <чуть больше 7>.

В соответствии с принципом обобщения, арифметические операции над нечеткими числами имеют вид:

· сложение ,

· вычитание ,

· умножение ,

· деление ,

К сожалению, использование принципа обобщения для определения арифметических операций над нечеткими числами в общем довольно неэффективно. Поэтому часто предполагается, что нечеткие числа представляются в -форме, что соответствует описанию левой (left) и правой (right) частей функции.

Нечеткое число представляется в -форме, если:

,

где и - функции, обладающие свойствами:

а)

б)

в) монотонно убывает она промежутке .

Здесь - среднее значение нечеткого числа , -отклонение слева, - отклонение справа.

Если , то нечеткое число переходит в четкое число .

Таким образом, -форму нечеткого числа можно представить в виде тройки . Арифметические операции над нечеткими числами можно определить через операции над соответствующими им тройками:

На практике -представление упрощается за счет применения линейных функций, что приводит к треугольным нечетким числам (рис. 1.2а), которые имеют функцию принадлежности вида:

,

Кроме того, получили распространение трапециевидные формы функций принадлежности (рис. 1.2б), которые имеют функции принадлежности вида:

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: