Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности

Определение: Число называется пределом функции в точке , если для любой числовой последовательности, сходящейся к числу , , соответствующая числовая последовательность , сходится к числу . Применяемые обозначения:

или при . Особо подчеркнем здесь выделенное слово «любой», означающее, что значение предела функции, не должно зависеть от вида выбранной последовательности , и должно оставаться одним и тем же для разных числовых последовательностей .

Другими словами, если для разных последовательностей , соответствующие последовательности стремятся к разным пределам, то предела функции в точке не существует.

Определение: Число называется пределом слева (справа) функции в точке , если для любой, сходящейся слева (справа) к числу числовой последовательности < ( > ) соответствующая числовая последовательность , сходится к числу . Для предела функции слева используются обозначения:

или .

Аналогично, для предела функции справа:

или .

Теорема: Предел функции в точке существует и равен тогда и только тогда, когда пределы функции слева и справа в этой точке существуют и оба равны .

Продемонстрируем различные ситуации с существованием и не существованием предела функции , изображенной на Рис.2.

2

1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

Рис. 2

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6).

Определение: Число называется пределом функции на (на ), если для любой бесконечно большой числовой последовательности соответствующая последовательность сходится к числу , т. е. , Применяемые обозначения:

или .

Изобразим на Рис.3 указанные пределы:

2

-3

Рис. 3

,

.

Введенные здесь добавки +0 и –0, используемые для уточнения расположения графика функции относительно ее горизонтальных асимптот и , означают, что асимптотическое поведение функции при таково, что функция располагается ниже горизонтальной асимптоты . А асимптотическое поведение той же функции при

таково, что график функции располагается выше горизонтальной асимптоты .

1. Предел функций целочисленного аргумента

Пример 1. Вычислить пределы функций целочисленного аргумента при

; .

Решение примера 1

о

.

0

При вычислении предела в числителе и знаменателе пренебрегли постоянными слагаемыми по сравнению с бесконечно большой величиной ~ ;

2) ;

Здесь были использованы свойства бесконечности (бесконечно больших величин):

.

о о

3)

о о

Здесь сначала пренебрегли постоянными в числителе и знаменателе по сравнению с бесконечно большими слагаемыми. Затем в числителе пренебрегли величиной по сравнению с бесконечно большой величиной высшего порядка . В знаменателе величина , которой пренебрегаем, может рассматриваться как бесконечно малая по сравнению с величиной ;

оо

4) .

О

Здесь опять постоянной величиной пренебрегали по сравнению с бесконечно большой величиной , которая сама является бесконечно малой по сравнению с , поскольку для степеней имеет место неравенство < 2/3.

В знаменателе по тем же причинам пренебрегли величиной по сравнению с ее квадратом . Последняя является бескончно большой величиной высшего порядка по сравнению с величиной .

Замечание: При сравнении порядков бесконечно больших степенных функций можно пользоваться шкалой бесконечно больших функций);

5) .

6)

Здесь учтено, что бесконечно большие величины в отрицательной степени становятся бесконечно малыми. Действительно, например:

;

о